Question

Дано уравнение: х/(х+2)-7/(х-2)=8/(х^2-4) Укажите область допустимых значений уравнения; Приведите рациональное уравнение к квадратному уравнению;Найдите решения рационального уравнения. ​

Answer 1

Ответ:

ОДЗ: x ∈ (-∞;-2) ∪ (-2;2) ∪ (2;+∞)

Квадратное уравнение: $x^{2} - 9x - 22 = 0$

Корень: x = 11

Объяснение:

$\frac{x}{x +2} - \frac{7}{x- 2} = \frac{8}{x^{2} - 4}$

ОДЗ:

x + 2 ≠ 0;x ≠ -2;

x - 2 ≠ 0; x ≠ 2;

x ∈ (-∞;-2) ∪ (-2;2) ∪ (2;+∞)

$\frac{x(x - 2) - 7(x + 2)}{(x + 2)(x -2)} = \frac{8}{(x - 2)(x + 2)} |*(x -2)(x + 2)$

$x(x - 2) - 7(x + 2) = 8$

$x(x - 2) = 8 + 7(x + 2)$

$x^{2} -2x= 8 + 7x + 14$

$x^{2} - 9x - 22 = 0$

$D = 81 - 4 * 1 * (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^{2}$

$x_{1} = \frac{9 + 13}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x_{2} = \frac{9 - 13}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как x ∈ ОДЗ,  $x_{2}$ ∉ ОДЗ, а $x_{1}$ ∈ ОДЗ, то $x = x_{2} = 11$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное рациональное уравнение по шагам:

1. Область допустимых значений: Чтобы определить область допустимых значений, нужно исключить значения переменной x, которые делают знаменатели равными нулю. В данном случае, у нас есть три знаменателя: (x + 2), (x - 2), и (x^2 - 4).

   a) (x + 2) не может быть равным нулю, поэтому x ≠ -2. b) (x - 2) не может быть равным нулю, поэтому x ≠ 2. c) (x^2 - 4) равен нулю, когда x = 2 или x = -2.

   Итак, область допустимых значений: x ∈ (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, ∞).

2. Приведение рационального уравнения к квадратному уравнению: Для этого умножим обе стороны уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, которое равно (x + 2)(x - 2):

   x(x - 2) - 7(x + 2) = 8

   Раскроем скобки:

   x^2 - 2x - 7x - 14 = 8

   Упростим:

   x^2 - 9x - 22 = 8

   Теперь приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

   x^2 - 9x - 22 - 8 = 0

   x^2 - 9x - 30 = 0

3. Найдем решения квадратного уравнения: Для этого мы можем воспользоваться квадратным уравнением вида ax^2 + bx + c = 0. В данном случае, a = 1, b = -9, и c = -30.

   Используя квадратное уравнение, найдем корни:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

   x = (9 ± √((-9)² - 4 * 1 * (-30))) / (2 * 1)

   x = (9 ± √(81 + 120)) / 2

   x = (9 ± √201) / 2

   Таким образом, решения рационального уравнения:

   x = (9 + √201) / 2 и x = (9 - √201) / 2.