Question

решите уравнение sinx+sin3x=4cos2x, используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций к умножению.​

Answer 1

Объяснение:

нашёл,мне тоже очень нужно??

Answer 2

Для решения уравнения sin(x) + sin(3x) = 4cos(2x) сначала преобразуем левую сторону, используя формулу преобразования суммы тригонометрических функций:

sin(x) + sin(3x) = 2sin(2x + x)

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

2sin(2x + x) = 4cos(2x)

Далее, преобразуем правую сторону уравнения, используя формулу двойного угла для косинуса:

2sin(2x + x) = 4(2cos^2(2x) - 1)

2sin(3x) = 8cos^2(2x) - 4

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной (x) и только синусами и косинусами. Давайте продолжим решение.

Распишем sin(3x) как 3sin(x) - 4sin^3(x), используя формулу тройного угла для синуса:

2(3sin(x) - 4sin^3(x)) = 8cos^2(2x) - 4

Упростим уравнение:

6sin(x) - 8sin^3(x) = 8cos^2(2x) - 4

Теперь заметим, что 8cos^2(2x) можно выразить через синус:

8cos^2(2x) = 8(1 - sin^2(2x))

8cos^2(2x) = 8 - 8sin^2(2x)

Теперь мы можем подставить это обратно в уравнение:

6sin(x) - 8sin^3(x) = 8 - 8sin^2(2x) - 4

6sin(x) - 8sin^3(x) = 4 - 8sin^2(2x)

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной sin(x) и sin(2x). Давайте заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x):

6sin(x) - 8sin^3(x) = 4 - 8(2sin(x)cos(x))^2

6sin(x) - 8sin^3(x) = 4 - 32sin^2(x)cos^2(x)

Теперь мы видим, что у нас есть уравнение только с синусами и косинусами. Мы можем попробовать заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x), чтобы получить уравнение только с косинусами:

6sin(x) - 8(1 - cos^2(x))sin(x) = 4 - 32(1 - cos^2(x))cos^2(x)

6sin(x) - 8sin(x) + 8cos^2(x)sin(x) = 4 - 32cos^2(x) + 32cos^4(x)

Теперь у нас есть уравнение только с синусами и косинусами:

-2sin(x) + 8cos^2(x)sin(x) = 4 - 32cos^2(x) + 32cos^4(x)

Теперь давайте выразим sin(x) через cos(x):

sin(x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

-2(2sin(x)cos(x)) + 8cos^2(x)(2sin(x)cos(x)) = 4 - 32cos^2(x) + 32cos^4(x)

-4sin(x)cos(x) + 16cos^2(x)sin(x)cos(x) = 4 - 32cos^2(x) + 32cos^4(x)

Теперь вынесем sin(x)cos(x) за скобку:

sin(x)cos(x)(-4 + 16cos^2(x)) = 4 - 32cos^2(x) + 32cos^4(x)

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. sin(x)cos(x) = 0

2. -4 + 16cos^2(x) = 4 - 32cos^2(x) + 32cos^4(x)

После этого решим оба случая:

1. sin(x)cos(x) = 0

Этот случай дает два решения: sin(x) = 0 и cos(x) = 0.

2. -4 + 16cos^2(x) = 4 - 32cos^2(x) + 32cos^4(x)

Переносим все слагаемые влево:

32cos^4(x) - 32cos^2(x) - 4cos^2(x) + 4 = 0

32cos^4(x) - 36cos^2(x) + 4 = 0

Теперь сделаем замену переменной: t = cos^2(x):

32t^2 - 36t + 4 = 0

Решим это квадратное уравнение:

(8t - 2)(4t - 2) = 0

Таким образом, получаем два значения t:

1. 8t - 2 = 0 8t = 2 t = 1/4

2. 4t - 2 = 0 4t = 2 t = 1/2

Теперь вернемся к исходной переменной:

1. cos^2(x) = 1/4 cos(x) = ±1/2

2. cos^2(x) = 1/2 cos(x) = ±√(1/2)

Теперь у нас есть решения для x:

1. cos(x) = 1/2 x = π/3 + 2πn, где n - целое число

2. cos(x) = -1/2 x = 2π/3 + 2πn, где n - целое число

3. cos(x) = √(1/2) x = π/4 + 2πn, где n - целое число

4. cos(x) = -√(1/2) x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число

Итак, у нас есть четыре набора решений для уравнения sin(x) + sin(3x) = 4cos(2x), где n - целое число.