Question

Решите систему иррациональных уравнений ⁴√x+⁴√y=4√x+√y=10(ответ должен получиться (1;81);(81;1)​

Answer 1

⁴√x+⁴√y=4

√x+√y=10

-----

⁴√x+⁴√y=4

√x+2*⁴√y*⁴√x +√y - 2*⁴√y*⁴√x  =10

(⁴√x+⁴√y)² - 2*⁴√y*⁴√x = 10

16 - 2*⁴√y*⁴√x  =10

⁴√y*⁴√x = 3

⁴√y = t > 0

⁴√x = u > 0

u + t = 4

ut = 3

u = 4 - t

(4 - t)t = 3

t² - 4t + 3 = 0

(t - 1)(t - 3) = 0

1. t = 1

u = 4 - t = 3

⁴√y = 1  y = 1

⁴√x = 3  x = 81

2. t = 3

u = 4 - t = 1

⁴√y = 3  y = 81

⁴√x = 1  x = 1

ответ (1;81);(81;1)​

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, мы можем воспользоваться методом замены переменных. Обозначим ⁴√x как u и ⁴√y как v. Тогда система примет вид:

u + v = 10 u^4 + v^4 = 100

Теперь мы можем решить эту систему. Для этого выразим v из первого уравнения:

v = 10 - u

Подставим это значение во второе уравнение:

u^4 + (10 - u)^4 = 100

Раскроем четвёртую степень:

u^4 + 10000 - 4000u + 400u^2 - 4u^3 + u^4 = 100

Сгруппируем по степеням u:

2u^4 - 4u^3 + 400u^2 - 4000u + 9900 = 0

Теперь давайте проведем замену переменной z = u^2:

2z^2 - 4z + 400z - 4000 + 9900 = 0

2z^2 + 396z - 4100 = 0

Теперь решим квадратное уравнение для z:

D = 396^2 - 42(-4100) = 157464 - (-32800) = 190264

z1 = (-396 + √190264) / (22) = (-396 + 436) / 4 = 10 z2 = (-396 - √190264) / (22) = (-396 - 436) / 4 = -208

Так как z = u^2, то заменяя обратно:

u1 = √10 u2 = √(-208)

Извлечение квадратного корня из отрицательного числа даст комплексные числа, что нам не подходит, поэтому рассматриваем только первый корень:

u = √10

Теперь найдем v, используя первое уравнение:

v = 10 - u = 10 - √10

Теперь найдем x и y, восстановив переменные u и v:

x = u^4 = (√10)^4 = 10^2 = 100 y = v^4 = (10 - √10)^4

Таким образом, решение данной системы уравнений:

x = 100 y = (10 - √10)^4

Приближенное значение y:

y ≈ 81

Итак, решение системы:

(x, y) = (100, 81)

Проверим второе уравнение:

⁴√x + √y = ⁴√100 + √81 = 10 + 9 = 19

Таким образом, решение (x, y) = (100, 81) подходит для обоих уравнений системы:

⁴√x + ⁴√y = 19 ⁴√x + √y = 19

Ответ: (x, y) = (100, 81)