Question

(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>16abc; если a>1; b>1; c>1​

Answer 1

(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>16abc; если a>1; b>1; c>1​

x² + y² ≥ 2xy

x + y ≥ 2√(xy)

a + 1 ≥ 2√a

b + 1 ≥ 2√b

a + c ≥ 2√(ac)

b + c ≥ 2√(bc)

(a+1)(b+1)(a+c)(b+c) >= 2√a*2√b*2√(ac)*2√(bc) = 16abc

равенство при a=b=c= 1

если a>1; b>1; c>1​ то (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) > 16abc

Answer 2

Давайте разложим данное выражение и докажем неравенство шаг за шагом:

(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) > 16abc

Раскроем скобки:

(a^2 + a + ab + b)(a + c)(b + c) > 16abc

(a^2 + a + ab + b)(ab + ac + bc + c^2) > 16abc

Раскроем скобки ещё раз:

a^3b + a^3c + a^2bc + a^2c^2 + ab^2c + abc^2 + abc + bc^2 > 16abc

Теперь проведём ряд преобразований:

a^3b + a^3c + a^2bc + a^2c^2 + ab^2c + abc^2 + abc + bc^2 - 16abc > 0

a^3b - 15abc + a^3c + a^2bc + a^2c^2 + ab^2c + abc^2 + bc^2 > 0

abc(a^2 - 15) + a^3c + a^2bc + a^2c^2 + ab^2c + abc^2 + bc^2 > 0

Теперь разделим обе части неравенства на abc:

(a^2 - 15) + ac + bc + c^2 + ab + ac + bc > 0

a^2 + ab + ac + bc + c^2 - 15 > 0

Так как a, b и c больше 1, то каждый из членов a^2, ab, ac, bc и c^2 будет больше 1. Таким образом:

a^2 + ab + ac + bc + c^2 > 5

Теперь посмотрим на левую часть выражения:

(a + c)^2 + ab + bc > 5

(a + c)^2 > 5 - ab - bc

Так как каждый из членов ab и bc больше 1, то:

5 - ab - bc > 5 - 1 - 1 = 3

Теперь получаем:

(a + c)^2 > 3

Так как a и c больше 1, то (a + c) также будет больше 1. Таким образом:

(a + c)^2 > 3 > 1

Значит, неравенство (a + c)^2 > 1 верно.

Таким образом, мы доказали, что (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) > 16abc, когда a > 1, b > 1 и c > 1.