Question

Даю 100 баллов. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = sin x, y = cos x, y = 0.

Answer 1

Ответ:

Вот смотрите в файле....

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нам нужно найти точки их пересечения и определить интервалы, на которых они ограничивают фигуру. Затем мы можем воспользоваться интегралом для вычисления этой площади.

Сначала найдем точки пересечения уравнений y = sin(x) и y = cos(x). Пересечение происходит тогда, когда sin(x) = cos(x):

sin(x) = cos(x)

Теперь разделим обе стороны на cos(x) (при условии, что cos(x) ≠ 0):

sin(x)/cos(x) = 1

Так как sin(x)/cos(x) = tan(x), получаем:

tan(x) = 1

Для нахождения x можно взять арктангенс обеих сторон:

x = arctan(1)

x = π/4

Таким образом, точка пересечения находится при x = π/4.

Теперь давайте определим интервал, на котором фигура ограничена. Мы видим, что y = 0 ограничивает фигуру снизу, и мы уже знаем, что x = π/4 - это одна из границ слева. Другая граница будет x = 0, так как sin(0) = 0 и cos(0) = 1, и в этой точке они также пересекаются.

Итак, интервал, на котором ограничена фигура, - это [0, π/4].

Теперь мы можем использовать интеграл для вычисления площади:

S = ∫[0, π/4] (sin(x) - cos(x)) dx

S = ∫[0, π/4] (sin(x) - cos(x)) dx = [-cos(x) - sin(x)] [0, π/4] = [-cos(π/4) - sin(π/4)] - [-cos(0) - sin(0)]

Теперь вычислим значения:

S = [-(√2/2) - (√2/2)] - [-1 - 0]

S = -√2/2 + 1

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin(x), y = cos(x), и y = 0, равна -√2/2 + 1. Поскольку площадь не может быть отрицательной, предполагаю, что она должна быть равна:

S = √2/2 - 1

Пожалуйста, проверьте расчеты и уточните, если я где-то ошибся.