Question

(√2)*(sin2x-cos2x)=cos4x 50 баллов. P.S: sin2x это именно sin2x, а не sin²x

Answer 1

√2(Sin2x - Cos2x) = Cos4x

√2(Sin2x - Cos2x) = Cos²2x - Sin²2x

-√2( Cos2x - Sin2x) -( Cos2x - Sin2x)(Cos2x + Sin2x) = 0

(Cos2x - Sin2x)(√2 - Cos2x - Sin2x) = 0

1) Cos2x - Sin2x = 0 |: Cos2x , Cos2x ≠ 0

1 - tg2x = 0

tg2x = 1

$2x=arctg1+\pi n,n\in Z\\\\2x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z\\\\\boxed{x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2},n\in Z}$

$2)\sqrt{2}-Cos2x-Sin2x=0\\\\Cos2x+Sin2x=\sqrt{2} |:2\\\\\frac{1}{2}Cos2x+\frac{1}{2} Sin2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\Cos\frac{\pi }{6}Cos2x+Sin\frac{\pi }{6}Sin2x=\frac{\sqrt{2} }{2} \\\\Cos(2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{2} }{2}\\\\2x-\frac{\pi }{6}=\pm arc Cos\frac{\sqrt{2} }{2}+2\pi n,n\in Z\\\\2x-\frac{\pi }{6}=\pm \frac{\pi }{4} +2\pi n,n\in Z\\\\2x=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6} +2\pi n,n\in Z\\\\\boxed{x=\pm \frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{12} +\pi n,n\in Z}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

√2 * (sin2x - cos2x) = cos4x

Сначала упростим его, используя тригонометрические тождества:

sin2x - cos2x = sin(2x - π/4) // Здесь мы используем разность углов и тождество sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ, где α = 2x, β = π/4. √2 * sin(2x - π/4) = cos4x

Теперь давайте представим cos4x в виде выражения синуса, используя тождество sin²α + cos²α = 1:

cos4x = 1 - sin²(4x)

Теперь мы можем переписать уравнение:

√2 * sin(2x - π/4) = 1 - sin²(4x)

Теперь давайте решим это уравнение. Для упрощения рассмотрим sin(2x - π/4) как новую переменную, например, пусть u = sin(2x - π/4). Тогда у нас есть:

√2 * u = 1 - sin²(4x)

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно u:

√2 * u = 1 - (2sin(2x))^2

√2 * u = 1 - 2sin²(2x)

√2 * u = 1 - 2(2sinx * cosx)²

√2 * u = 1 - 8sin²x * cos²x

Теперь мы можем выразить sin(2x) в терминах u:

sin(2x) = u / √2

Таким образом, у нас есть:

u = 1 - 8sin²x * cos²x

Теперь давайте подставим sin(2x) обратно в уравнение:

√2 * (u / √2) = 1 - 8sin²x * cos²x

Упростим:

u = 1 - 8sin²x * cos²x

Теперь у нас есть уравнение относительно u:

u = 1 - 8sin²x * cos²x

Теперь решим это уравнение относительно sin(2x). Для этого мы можем использовать подстановку:

sin(2x) = u / √2

u = 1 - 8(sin(2x))^2

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(2x), которое можно решить. После нахождения решений sin(2x) вы сможете найти решения исходного уравнения √2 * (sin2x - cos2x) = cos4x.