Question

Из колоды в 52 карты выбираются 4 карты. Для случайной величины X — количества карт червонной масти среди отобранных — найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию

Answer 1

52 карты , из них 13 карт червоной масти

Х - случайная величина - количество карт червоной масти среди отобранных 4-х карт

$P(k=0)=\dfrac{C_{13}^0\cdot C_{39}^4}{C_{52}^4}=\dfrac{1\, \cdot \dfrac{39\cdot 38\cdot 37\cdot 36}{4!}}{\dfrac{52\cdot 51\cdot 50\cdot 49}{4!}}=\dfrac{1974024}{6497400}\approx 0,3038$

$P(k=1)=\dfrac{C_{13}^1\cdot C_{39}^3}{C_{52}^4}=\dfrac{13\cdot 39\cdot 38\cdot 37}{270725\cdot 3!}\approx 0,4388\\\\\\P(k=2)=\dfrac{C_{13}^2\cdot C_{39}^2}{C_{52}^4}=\dfrac{13\cdot 12\, \cdot \, 39\cdot 38}{270725\cdot 2!\cdot 2!}\approx 0,2135\\\\\\P(k=3)=\dfrac{C_{13}^3\cdot C_{39}^1}{C_{52}^4}=\dfrac{13\cdot 12\cdot 11\, \cdot \, 39}{270725\cdot 3!}\approx 0,0412$

$P(k=4)=\dfrac{C_{13}^4\cdot C_{39}^0}{C_{52}^4}=\dfrac{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\, \cdot \, 1}{270725\cdot 4!}\approx 0,0026$

$0,3038+0,4388+0,2135+0,0412=0,9973\approx 1\\\\\\X\ |\ \ \ \ \ 1\ \ \ \ |\ \ \ \ \ 2\ \ \ \ |\ \ \ \ \ 3\ \ \ \ |\ \ \ \ \ 4\ \ \ \ |\\-----------------\\P\ |\ 0,3038\ |\ 0,4388\ |0,2135\ |\ 0,0412\ |$

$M(X)=1\cdot 0,3038+2\cdot 0,4388+3\cdot 0,2135+4\cdot 0,0412=1,9864\\\\D(X)=M(X^2)-M^2(X)=1^2\cdot 0,3038+2^2\cdot 0,4388+3^2\cdot 0,2135+4^2\cdot 0,0412-\\\\-(1,9864)^2=4,6397-3,9457=0,6940$

Answer 2

Для нахождения закона распределения, математического ожидания и дисперсии случайной величины X, представляющей количество карт красной масти (черви и бубны) среди отобранных 4 карт из колоды в 52 карты, мы можем использовать комбинаторику.

1. Найдем количество способов выбрать 4 карты из 26 карт красной масти (половины колоды), которые составляют красную масть. Это можно сделать с помощью сочетания:

C(26, 4) = 26! / (4!(26-4)!) = 17,550

2. Теперь найдем количество способов выбрать 4 карты из общей колоды в 52 карты:

C(52, 4) = 52! / (4!(52-4)!) = 270,725

3. Теперь можем найти вероятность P(X = k) для k от 0 до 4:

• P(X = 0) = (C(26, 0) * C(26, 4)) / C(52, 4)
• P(X = 1) = (C(26, 1) * C(26, 3)) / C(52, 4)
• P(X = 2) = (C(26, 2) * C(26, 2)) / C(52, 4)
• P(X = 3) = (C(26, 3) * C(26, 1)) / C(52, 4)
• P(X = 4) = (C(26, 4) * C(26, 0)) / C(52, 4)

Теперь, когда у нас есть вероятности для каждого значения X, мы можем найти математическое ожидание (среднее) и дисперсию:

4. Математическое ожидание (среднее): E(X) = Σ [P(X = k) * k], где сумма берется от k = 0 до 4.

5. Дисперсия: Var(X) = Σ [P(X = k) * (k - E(X))^2], где сумма берется от k = 0 до 4.

Рассчитаем значения математического ожидания и дисперсии:

E(X) = (0 * P(X = 0)) + (1 * P(X = 1)) + (2 * P(X = 2)) + (3 * P(X = 3)) + (4 * P(X = 4))

Var(X) = (0 - E(X))^2 * P(X = 0) + (1 - E(X))^2 * P(X = 1) + (2 - E(X))^2 * P(X = 2) + (3 - E(X))^2 * P(X = 3) + (4 - E(X))^2 * P(X = 4)

Вычислив значения P(X = k), E(X) и Var(X), мы получим закон распределения, математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X.