Question

Напиши уравнение касательной к графику функции f(x)=x2+6x+9 в точке с абсциссой x0=2​

Answer 1

f(x)= x²+6x+9.

Уравнение касательной к графику функции, проходящей через заданную точку x₀:

y= f '(x₀)•(x–x₀)+f(x₀).

x₀= 2.

f(x₀)= f(2)= 2²+6•2+9= 4+12+9= 25.

f '(x)= 2x+6.

f '(x₀)= f '(2)= 2•2+6= 4+6= 10.

Уравнение касательной:

y= 10•(x–2)+25;

y= 10x–20+25;

y= 10x+5.

Ответ: y=10x+5.

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 6x + 9$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$, мы можем использовать производную функции в этой точке как угловой коэффициент касательной.

1. Начнем с вычисления производной функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 + 6x + 9)$.

Используя правила дифференцирования, получим:

$f'(x) = 2x + 6$.

2. Теперь мы можем найти угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 2$ подставив $x_0$ в производную:

$f'(2) = 2 \cdot 2 + 6 = 4 + 6 = 10$.

3. Теперь у нас есть угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 2$, а также координаты этой точки $(2, f(2))$. Для уравнения касательной используем формулу для линейной функции:

$y - y_0 = m(x - x_0)$,

где $m$ - угловой коэффициент (в данном случае, $m = 10$), $(x_0, y_0)$ - координаты точки касания (в данном случае, $(2, f(2))$).

Подставляем значения:

$y - f(2) = 10(x - 2)$.

Функция $f(x) = x^2 + 6x + 9$ касается графика в точке $(2, 25)$, поэтому $f(2) = 25$:

$y - 25 = 10(x - 2)$.

Это уравнение представляет касательную к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.