Question

Доведіть, що значення виразу 21¹²+2¹³-4⁵ кратне 11

Answer 1

21+2-4=19

23+12+13+5=63

Answer 2

Щоб довести, що значення виразу $21^{12} + 2^{13} - 4^5$ кратне 11, ми можемо використовувати малий теорему Ферма. Ця теорема стверджує, що якщо $p$ - просте число, а $a$ не є кратним $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. З цієї теореми можна отримати декілька корисних властивостей.

1. $a^p \equiv a \pmod{p}$ (основна властивість теореми Ферма).
2. Якщо $a \equiv b \pmod{p}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{p}$.

Застосуємо ці властивості до виразу $21^{12} + 2^{13} - 4^5$:

$$\begin{align*} 21^{12} + 2^{13} - 4^5 &\equiv (21^2)^6 + 2^{13} - (2^2)^5 \pmod{11} \\ &\equiv (441)^6 + 8192 - 32 \pmod{11} \\ &\equiv (1)^6 + 1 - 32 \pmod{11} \\ &\equiv 1 + 1 - 32 \pmod{11} \\ &\equiv 2 - 32 \pmod{11} \\ &\equiv -30 \pmod{11} \\ &\equiv 2 \pmod{11}. \end{align*}$$

Отже, значення виразу $21^{12} + 2^{13} - 4^5$ дорівнює 2, і це число не кратне 11.

Отже, ми не можемо довести, що значення цього виразу кратне 11, оскільки воно не є кратним 11.