Question

Три числа x, y, 20 в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую прогрессию, а числа x, y, 15 арифметическую прогрессию. Найти y-x

Answer 1

Используя первое условие и характеристическое свойство геометрической прогрессии, запишем:

$y^2=20x$

Используя второе условие и характеристическое свойство арифметической прогрессии, запишем:

$y=\dfrac{x+15}{2}$

Получим систему уравнений:

$\begin{cases} y^2=20x\\ y=\dfrac{x+15}{2}\end{cases}$

Подставим в перове уравнение соотношение для у:

$\left(\dfrac{x+15}{2}\right)^2=20x$

$\dfrac{x^2+30x+225}{4}=20x$

$x^2+30x+225=4\cdot20x$

$x^2+30x+225=80x$

$x^2-50x+225=0$

$D_1=(-25)^2-1\cdot225=400$

$x_1=25+\sqrt{400} =45\Rightarrow y_1=\dfrac{45+15}{2} =30$

$x_2=25-\sqrt{400} =5\Rightarrow y_2=\dfrac{5+15}{2} =10$

Заметим, что по условию геометрическая прогрессия - возрастающая. Значит, x<y<15. Это условие не выполняется для первого найденного решения.

Тогда, имеем единственное решение:

$\begin{cases} x=5\\ y=10\end{cases}$

$y-x=10-5=5$

Ответ: 5

Answer 2

Давайте рассмотрим условие:

1. x, y, 20 образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Это означает, что каждое последующее число является произведением предыдущего на одну и ту же постоянную, называемую здесь q.
2. x, y, 15 образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что разница между каждым последующим числом и предыдущим равна одной и той же постоянной, называемой здесь d.

Для геометрической прогрессии отношение между любыми двумя последовательными членами равно q:

y / x = 20 / y = q

Для арифметической прогрессии разница между любыми двумя последовательными членами равна d:

y - x = 15 - y = d

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

1. y / x = q
2. y - x = d

Давайте решим эту систему:

Из первого уравнения выразим q:

q = y / x

Подставим это выражение во второе уравнение:

y - x = d y = d + x

Теперь мы можем заменить y в первом уравнении:

q = (d + x) / x

Теперь найдем значение q:

q = (d + x) / x

По условию, x, y и 20 образуют геометрическую прогрессию, поэтому:

y = qx 20 = qy

Теперь подставим значение y из второго уравнения в третье:

20 = q(d + x)

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

1. 20 = q(d + x)
2. y - x = d

Мы можем решить эту систему уравнений для q и d, а затем найти разницу между y и x:

Из первого уравнения выразим q:

q = 20 / (d + x)

Теперь подставим это значение q во второе уравнение:

20 / (d + x) = d

Умножим обе стороны на (d + x), чтобы избавиться от дроби:

20 = d(d + x)

Раскроем скобки:

20 = d^2 + dx

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 20 = d^2 + dx
2. y - x = d

Мы можем решить эту систему уравнений. После нахождения значений d и x, мы сможем найти значение y и, следовательно, разницу между y и x (y - x).