Question

Даю 40 баллов помогите!!! Сумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 21. Если вы добавите к этим числам числа 1,1,5, вы получите геометрическую прогрессию. Найдите простые числа.

Answer 1

Объяснение:

$a_1+a_2+a_3=21\ \ \ \ a_1>0\ \ \ \ a_2>0\ \ \ \ a_3>0\\a_1+a_1+d+a_1+2d=21\\3a_1+3d=21\\3*(a_1+d)=21\ |:3\\a_1+d=7\\a_2=7\\a_3=a_2+d=7+d>0\\d>-7.\\\frac{a_2+1}{a_1+1}=\frac{a_3+5}{a_2+1}\\\frac{7+1}{a_2-d+1}=\frac{a_2+d+5}{7+1} \\\frac{8}{7-d+1}=\frac{d+12}{8}\\\frac{8}{8-d} =\frac{d+12}{8} \\(8-d)*(d+12)=8*8\\96-4d-d^2=64\\d^2+4d-32=0\\D=144\ \ \ \ \sqrt{D}=12\\d_1=-8\notin\ \ \ \ d_2=4.\\a_1=7-4=3.\\a_3=7+4=11.$

Ответ: a₁=3,  a₂=7,  a₃=11.

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть наши три положительных числа, образующие арифметическую прогрессию, будут x, x + d и x + 2d, где x - это первый член прогрессии, а d - разность между соседними членами.

Согласно условию, сумма этих трех чисел равна 21:

x + (x + d) + (x + 2d) = 21

Теперь давайте перейдем к геометрической прогрессии. Если к нашим числам добавить 1, 1, 5, то получим геометрическую прогрессию. Это означает, что:

(x + 1), (x + d + 1), (x + 2d + 5)

Согласно свойствам геометрической прогрессии, отношение любых двух соседних членов равно постоянной:

(x + d + 1) / (x + 1) = (x + 2d + 5) / (x + d + 1)

Теперь давайте упростим это уравнение. Умножим обе стороны на (x + 1) и (x + d + 1), чтобы избавиться от дробей:

(x + d + 1)^2 = (x + 1)(x + 2d + 5)

Теперь раскроем скобки:

x^2 + 2dx + d^2 + 2x + 2d + 1 = x^2 + 2dx + 5x + x + 10d + 5

Теперь упростим уравнение:

x^2 + 2dx + d^2 + 2x + 2d + 1 - x^2 - 2dx - 5x - x - 10d - 5 = 0

x^2 + 2dx + d^2 + 2x + 2d + 1 - x^2 - 2dx - 5x - x - 10d - 5 = 0

Теперь множим на -1:

-x^2 - 2dx - d^2 - 2x - 2d - 1 + x^2 + 2dx + 5x + x + 10d + 5 = 0

Сокращаем подобные члены:

• d^2 - 2d - 1 + 5x + x + 10d + 5 = 0

Теперь объединяем подобные члены:

• d^2 + 8d + 5x + x - 1 + 5 = 0

• d^2 + 8d + 6x + 4 = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. x + (x + d) + (x + 2d) = 21
2. -d^2 + 8d + 6x + 4 = 0

Мы можем решить эти уравнения одновременно, чтобы найти значения x и d.

Первое уравнение:

3x + 3d = 21

x + d = 7

Второе уравнение:

-d^2 + 8d + 6x + 4 = 0

Подставляем значение x из первого уравнения:

-d^2 + 8d + 6(7) + 4 = 0

-d^2 + 8d + 46 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться квадратным дискриминантом:

D = b^2 - 4ac

где a = -1, b = 8 и c = 46.

D = 8^2 - 4(-1)(46) = 64 + 184 = 248

D > 0, что означает, что у нас есть два действительных корня.

Используем формулу для нахождения корней:

d1 = (-b + √D) / (2a) d2 = (-b - √D) / (2a)

d1 = (-8 + √248) / (2(-1)) ≈ (-8 + 2√62) / -2 ≈ 4 - √62 d2 = (-8 - √248) / (2(-1)) ≈ (-8 - 2√62) / -2 ≈ 4 + √62

Теперь у нас есть два значения для d:

1. d ≈ 4 - √62
2. d ≈ 4 + √62

Теперь мы можем найти соответствующие значения для x, используя первое уравнение (x + d = 7):

1. x + (4 - √62) = 7 x = 7 - (4 - √62) ≈ 3 + √62

2. x + (4 + √62) = 7 x = 7 - (4 + √62) ≈ 3 - √62

Теперь у нас есть две пары значений (x, d):

1. (x ≈ 3 + √62, d ≈ 4 - √62)
2. (x ≈ 3 - √62, d ≈ 4 + √62)

Проверим, являются ли эти числа простыми. Простые числа - это натуральные числа больше 1, которые делятся только на 1 и сами на себя.

Округлим значения x и d до ближайших целых чисел:

1. (x ≈ 3, d ≈ 4)
2. (x ≈ 3, d ≈ 5)

Оба значения x являются простыми числами (3 - простое число), но только вторая пара (x ≈ 3, d ≈ 5) удовлетворяет условию, что d - положительное число. Таким образом, простыми числами, удовлетворяющими заданным условиям, являются:

x ≈ 3 d ≈ 5