Question

Y"-y'=0 при y(0)=0, y'(0)=1​

Answer 1

Ответ:

замена:

$y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - k) = 0 \\ k1 = 0 \\ k 2 = 1 \\ y = C1 {e}^{x} + C2$

общее решение

$y(0) = 0,y'(0) = 1$

$y = C1 {e}^{x}$

$0 = C1 + C2 \\ 1 = C1 \\ \\ C1 = 1 \\ C2 = - C1 = - 1$

$y = {e}^{x} - 1$

частное решение

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка с начальными условиями можно решить методом разделения переменных.

Обозначим y'' как производную второго порядка по y относительно x, y' как производную первого порядка, и y как саму функцию. У нас есть следующее уравнение:

y'' - y' = 0

Теперь давайте попробуем найти общее решение этого уравнения. Предположим, что y имеет вид y(x) = e^(rx), где r - это некоторая константа, которую мы должны найти.

Тогда: y'(x) = r * e^(rx) y''(x) = r^2 * e^(rx)

Подставив это в исходное уравнение, получим:

r^2 * e^(rx) - r * e^(rx) = 0

Теперь можно упростить это уравнение:

e^(rx) * (r^2 - r) = 0

Так как e^(rx) никогда не равно нулю, у нас остается:

r^2 - r = 0

Теперь решим это уравнение для r:

r(r - 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения r:

1. r = 0
2. r = 1

Теперь у нас есть два корня, и мы можем использовать их, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения:

1. r = 0: y₁(x) = e^(0 * x) = 1

2. r = 1: y₂(x) = e^(1 * x) = e^x

Теперь можем записать общее решение в виде линейной комбинации этих двух функций, используя произвольные постоянные c₁ и c₂:

y(x) = c₁ * y₁(x) + c₂ * y₂(x)

y(x) = c₁ * 1 + c₂ * e^x

Теперь мы можем использовать начальные условия, чтобы найти конкретные значения констант c₁ и c₂.

Из условия y(0) = 0 мы имеем:

0 = c₁ * 1 + c₂ * e^0 0 = c₁ + c₂ * 1 c₁ = -c₂

Из условия y'(0) = 1:

1 = c₁ * 0 + c₂ * e^0 1 = c₂

Таким образом, мы нашли конкретные значения для c₁ и c₂:

c₁ = -1 c₂ = 1

Итак, окончательное решение дифференциального уравнения с начальными условиями:

y(x) = -e^x + e^x y(x) = 0

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями - это y(x) = 0.