Question

Решите уравнение f'(x)=0, когда а) f(x)= 2√3 sinx + cos(2x)б) f(x)= 1/2cos(2x) - cosx - 3в) f(x)= x + cos^2 x​

Answer 1

Ответ:

а)

$f'(x) = 2 \sqrt{3} \cos(x) - 2 \sin(2x)$

$2 \sqrt{3} \cos(x) - 2\sin(2x) = 0 \\ 2 \sqrt{3} \cos(x) - 4 \sin(x) \cos(x) = 0 \\ 2 \cos(x) ( \sqrt{3} - 2 \sin(x)) = 0 \\ \\ \cos(x) = 0 \\ x1 = \frac{\pi}{2} + \pi \: n \\ \\ \sin(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ x2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \: n \\ x3 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \: n$

n принадлежит Z.

б)

$f'(x) = \frac{1}{2} \times ( - 2 \sin(2x)) - ( - \sin(x)) = \\ = - \sin(2x) + \sin(x) \\ \\ - \sin(2x) + \sin(x) = 0 \\ \sin(x) - 2 \sin(x) \cos(x) = 0 \\ \sin(x) (1 - 2 \cos(x) ) = 0 \\ \\ \sin(x) = 0 \\ x1 = \pi \: n \\ \\ \cos(x) = \frac{1}{2} \\ x2 = + - \frac{\pi}{3} + 2\pi \: n$

n принадлежит Z.

в)

$f'(x) = 1 + 2 \cos(x) \times ( - \sin(x) ) = \\ = 1 - \sin( 2x ) \\ \\ 1 - \sin(2x) = 0 \\ \sin(2x) = 1 \\ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi \: n \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi \: n$

n принадлежит Z.

Answer 2

Чтобы найти точки, в которых производная функции равна нулю, давайте сначала найдем производные данных функций, а затем приравняем их к нулю.

а) f(x) = 2√3sin(x) + cos(2x)

f'(x) = d/dx [2√3sin(x) + cos(2x)] f'(x) = 2√3cos(x) - 2sin(2x)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2√3cos(x) - 2sin(2x) = 0

Разделим обе стороны на 2:

√3cos(x) - sin(2x) = 0

Теперь мы можем попробовать решить это уравнение. Однако оно может быть довольно сложным, и его решение может потребовать численных методов или аппроксимаций.

б) f(x) = 1/2cos(2x) - cos(x) - 3

f'(x) = d/dx [1/2cos(2x) - cos(x) - 3] f'(x) = -sin(2x) + sin(x)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-sin(2x) + sin(x) = 0

Добавим sin(2x) к обеим сторонам:

sin(x) = sin(2x)

Теперь мы можем решить это уравнение. Однако помните, что уравнение sin(x) = sin(2x) имеет множество решений, и их можно найти, рассматривая различные интервалы значений x.

в) f(x) = x + cos^2(x)

f'(x) = d/dx [x + cos^2(x)] f'(x) = 1 - 2cos(x)sin(x)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

1 - 2cos(x)sin(x) = 0

2cos(x)sin(x) = 1

cos(x)sin(x) = 1/2

Теперь мы можем попробовать решить это уравнение. Опять же, это уравнение может быть сложным, и его решение может потребовать численных методов или аппроксимаций.