Question

Обчисліть sin(pi/4 + a) . якщо sina = 0,5, 0 < a < 90

Answer 1

Ответ:

$\sin( \alpha ) = 0.5$

$\sin( \frac{\pi}{4} + \alpha ) = \\ = \sin( \frac{\pi}{4} ) \cos( \alpha ) + \sin( \alpha ) \cos( \frac{\pi}{4} ) = \\ = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos( \alpha ) + \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin( \alpha ) = \\ = \frac{ \sqrt{2} }{2} ( \cos( \alpha ) + \sin( \alpha ))$

угол принадлежит 1 четверти, косинус положительный.

$\cos( \alpha ) = \sqrt{1 - { \sin }^{2} \alpha } = \\ = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \sqrt{ \frac{3}{4} } = \\ = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$\sin( \frac{\pi}{4} + \alpha ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} ( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = \\ = \frac{ \sqrt{2} }{2} \times \frac{1 + \sqrt{3} }{2} = \frac{ \sqrt{2} (1 + \sqrt{3} )}{4}$

Answer 2

Для обчислення sin(π/4 + a), де sin(a) = 0,5 і 0 < a < 90 градусів, ми можемо скористатися формулою синуса суми:

sin(π/4 + a) = sin(π/4) * cos(a) + cos(π/4) * sin(a)

Знаючи, що sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2 (це значення синуса та косинуса 45 градусів), і sin(a) = 0,5, ми можемо підставити ці значення:

sin(π/4 + a) = (√2/2) * cos(a) + (√2/2) * 0,5

Тепер нам потрібно знайти значення cos(a). Ми знаємо, що sin(a) = 0,5, і також можемо використовувати теорему Піфагора для знаходження cos(a):

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

(0,5)^2 + cos^2(a) = 1

0,25 + cos^2(a) = 1

cos^2(a) = 1 - 0,25

cos^2(a) = 0,75

cos(a) = √0,75

cos(a) = √(3/4)

cos(a) = √3/2

Тепер ми можемо підставити значення cos(a) у вираз для sin(π/4 + a):

sin(π/4 + a) = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * 0,5

sin(π/4 + a) = (√6/4) + (√2/4)

sin(π/4 + a) = (√6 + √2) / 4

Отже, sin(π/4 + a) = (√6 + √2) / 4.