Question

СРОЧНО!!!!!!!!! докажи,что при любом натуральном значении n значение выражения (8n+3)^2-(4n+3)^2 делится нацело на 24

Answer 1

Ответ:

Потому что при сокращении этого выражение получается 24n×(2n+1) в котором есть умножитель 24, из-за чего это выражение всегда ровно делится на 24

Объяснение:

(8n+3-(4n+3))×(8n+3+(4n+3))

4n×(12n+6)

4n×6(2n+1)

24n×(2n+1)

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $(8n+3)^2 - (4n+3)^2$ делится нацело на 24 при любом натуральном значении $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1)

Для $n = 1$, выражение становится: $(8\cdot1 + 3)^2 - (4\cdot1 + 3)^2 = (11)^2 - (7)^2 = 121 - 49 = 72$.

Из этого следует, что при $n = 1$ выражение делится нацело на 24, так как $72$ делится на 24.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что для некоторого натурального $k$ выражение $(8k+3)^2 - (4k+3)^2$ делится нацело на 24, то есть: $(8k+3)^2 - (4k+3)^2 = 24m$, где $m$ - некоторое целое число.

Шаг 3: Доказательство для $n = k+1$

Теперь давайте рассмотрим случай $n = k+1$. Мы должны доказать, что выражение $(8(k+1)+3)^2 - (4(k+1)+3)^2$ также делится нацело на 24.

$(8(k+1)+3)^2 - (4(k+1)+3)^2 = (8k + 11)^2 - (4k + 7)^2$.

Теперь мы можем воспользоваться нашим предположением индукции:

$(8k + 11)^2 - (4k + 7)^2 = (24k + 24 + 11^2) - (24k + 24 + 7^2) = (24k + 24 + 121) - (24k + 24 + 49) = 24$.

Таким образом, выражение $(8(k+1)+3)^2 - (4(k+1)+3)^2$ также делится нацело на 24.

По принципу математической индукции, мы доказали, что для любого натурального $n$ выражение $(8n+3)^2 - (4n+3)^2$ делится нацело на 24.