Question

Докажите тождество cosa+cos5a/sin5a-sina = ctg2a

Answer 1

Доказать тождество.

Фото

Answer 2

Ответ:

Ниже

Объяснение:

cosa-cos5a/sina+sin5a = -2sin((a-5a)/2) *2sin((a+5a)/2) / 2sin((a+5a)/2) = - tg(a-5a)= -tg((-4a/2)) = -tg(-2a) =tg2a

Answer 3

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и попробуем упростить ее с использованием тригонометрических идентичностей.

Имеем: $\frac{\cos(a) + \cos(5a)}{\sin(5a) - \sin(a)}$

Сначала воспользуемся формулой разности для синусов:

$\sin(5a) - \sin(a) = 2\sin\left(\frac{5a-a}{2}\right)\cos\left(\frac{5a+a}{2}\right) = 2\sin(2a)\cos(3a)$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{\cos(a) + \cos(5a)}{2\sin(2a)\cos(3a)}$

Теперь воспользуемся формулами для суммы и разности косинусов:

$\cos(5a) = \cos(a + 4a) = \cos(a)\cos(4a) - \sin(a)\sin(4a)$

$\cos(4a) = \cos(a + 3a) = \cos(a)\cos(3a) - \sin(a)\sin(3a)$

$\sin(4a) = \sin(a + 3a) = \sin(a)\cos(3a) + \cos(a)\sin(3a)$

Теперь подставим эти выражения обратно:

$\frac{\cos(a) + (\cos(a)\cos(4a) - \sin(a)\sin(4a))}{2\sin(2a)\cos(3a)}$

$\frac{\cos(a) + (\cos(a)(\cos(a)\cos(3a) - \sin(a)\sin(3a)) - \sin(a)(\sin(a)\cos(3a) + \cos(a)\sin(3a)))}{2\sin(2a)\cos(3a)}$

Теперь раскроем скобки и упростим:

$\frac{\cos(a) + \cos(a)\cos(a)\cos(3a) - \cos(a)\sin(a)\sin(3a) - \sin(a)\sin(a)\cos(3a) - \sin(a)\cos(a)\sin(3a)}{2\sin(2a)\cos(3a)}$

Сгруппируем похожие члены:

$\frac{\cos(a) + \cos(a)\cos(a)\cos(3a) - \sin(a)\cos(a)\sin(3a) - \cos(a)\sin(a)\sin(3a) - \sin(a)\sin(a)\cos(3a)}{2\sin(2a)\cos(3a)}$

$\frac{\cos(a) + \cos^2(a)\cos(3a) - \sin^2(a)\cos(3a)}{2\sin(2a)\cos(3a)}$

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$:

$\frac{\cos(a) + \cos(2a)\cos(3a)}{2\sin(2a)\cos(3a)}$

Теперь можно упростить дальше, деля и числитель, и знаменатель на $\cos(3a)$:

$\frac{\frac{\cos(a)}{\cos(3a)} + \cos(2a)}{2\sin(2a)}$

Теперь воспользуемся определением котангенса $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$ 0 0