Question

Найти частные производные первого порядка функции двух переменных z=x^2/y-2

Answer 1

$z=\dfrac{x^2}{y}-2$

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =\left(\dfrac{x^2}{y}-2\right)'_x=\dfrac{1}{y}\cdot(x^2)'_x=\dfrac{1}{y}\cdot2x=\dfrac{2x}{y}$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =\left(\dfrac{x^2}{y}-2\right)'_y=x^2\cdot\left(\dfrac{1}{y} \right)'_y=x^2\cdot\left(-\dfrac{1}{y^2}\right)=-\dfrac{x^2}{y^2}$

Answer 2

Для нахождения частных производных первого порядка функции z(x, y) = x^2 / (y - 2) по переменным x и y, мы будем применять правила дифференцирования. Давайте начнем с частной производной по x (при фиксированном y):

∂z/∂x = (∂/∂x) (x^2 / (y - 2))

Для нахождения этой производной, мы будем использовать правило дифференцирования частного и правило дифференцирования степени:

∂z/∂x = [(∂/∂x)(x^2) * (y - 2) - x^2 * (∂/∂x)(y - 2)] / (y - 2)^2

Теперь вычислим производные:

∂/∂x(x^2) = 2x ∂/∂x(y - 2) = 0 (поскольку y - 2 не зависит от x)

Теперь подставим их обратно в выражение:

∂z/∂x = [2x * (y - 2) - x^2 * 0] / (y - 2)^2

∂z/∂x = 2x(y - 2) / (y - 2)^2

Теперь найдем частную производную по y (при фиксированном x):

∂z/∂y = (∂/∂y)(x^2 / (y - 2))

Для нахождения этой производной, мы снова используем правило дифференцирования частного:

∂z/∂y = [(∂/∂y)(x^2) * (y - 2) - x^2 * (∂/∂y)(y - 2)] / (y - 2)^2

Теперь вычислим производные:

∂/∂y(x^2) = 0 (поскольку x^2 не зависит от y) ∂/∂y(y - 2) = 1 (поскольку (y - 2) линейно зависит от y)

Теперь подставим их обратно в выражение:

∂z/∂y = [0 * (y - 2) - x^2 * 1] / (y - 2)^2

∂z/∂y = -x^2 / (y - 2)^2

Итак, частные производные первого порядка функции z(x, y) = x^2 / (y - 2) по переменным x и y равны:

∂z/∂x = 2x(y - 2) / (y - 2)^2 ∂z/∂y = -x^2 / (y - 2)^2