Question

Помогите пожалуйста Вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ox фигур, ограниченных линиями: xy=6, y=1, y=6, x=0

Answer 1

объем найду как сумму объемов вращения красной фигуры V1, плюс цилиндр от вращения зеленого прямоугольника V2 и вычту объем V3-от вращение сиреневого прямоугольника

V1=pi*∫(6/x)^2dx=-36pi/x=

подстановка по х от 1 до 6

=-36pi(1/6-1)=-36pi*(-5/6)=30pi

V2=piR^2*H=pi*6^2*1=36pi

V3=pir^2*h=pi*1^2*6=6pi

V=30pi+36pi-6pi=60pi

Answer 2

Для вычисления объемов тел, образованных вращением фигур вокруг оси Ox, вы можете использовать метод образования цилиндрических оболочек (метод цилиндров). Этот метод предполагает разбиение фигуры на бесконечно маленькие элементы и вычисление объема каждого элемента.

В данном случае у нас есть следующие ограничения:

1. xy = 6
2. y = 1
3. y = 6
4. x = 0

Сначала определим интервал интегрирования по x. Наименьшее значение x равно 0 (из уравнения x = 0), а наибольшее значение x можно найти, решив уравнение xy = 6 относительно x: x = 6/y. Следовательно, интервал интегрирования будет от 0 до 6.

Теперь давайте рассмотрим элементарный слой объема, который будет образовывать цилиндр при вращении вокруг оси Ox. Пусть dx - бесконечно маленькая ширина слоя вдоль оси Ox, а x - его координата. Тогда ширина этого слоя равна dx, а высота (h) будет разницей между y = 6 и y = 1, то есть h = 6 - 1 = 5.

Теперь можно вычислить объем элемента цилиндра dV как pi * (радиус)^2 * высота, где радиус - это x, так как мы вращаем фигуру вокруг оси Ox. Таким образом:

dV = pi * x^2 * dx

Теперь мы можем интегрировать этот элемент по интервалу от 0 до 6:

V = ∫[0,6] pi * x^2 dx

Интегрируя это выражение, мы получим объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ox между указанными ограничениями:

V = pi * [x^3 / 3] |[0,6] = pi * [(6^3 / 3) - (0^3 / 3)] = pi * (216 / 3) = pi * 72 = 72pi

Таким образом, объем тела, образованного вращением фигур вокруг оси Ox, ограниченных линиями xy = 6, y = 1, y = 6, и x = 0, равен 72pi кубическим единицам объема.