Question

Найдите промежутки возрастания и убывания,экстремумы функции y=x^3+3x^2-9x-1

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=x^3+3x^2-9x-1

y'=3x^2+3*2x-9=0

х₁ ₂=(-6±√(36-4*3*(-9))):6

х₁ ₂=(-6±12):6

х₁ =(-6-12):6                х ₂=(-6+12):6

х₁ =-3                             х ₂=1

у₁ =(-3)^3+3(-3)^2-9(-3)-1                        у ₂ =1^3+3*1^2-9*1-1  

у₁ =(-27)+27+27-1 =26                       у ₂ =1+3-9-1   =-6

(-3; 26) - максимум                                (1;-6) - минимум

х                                     -4           -3       0           1      2

y=x^3+3x^2-9x-1            ↑            26       ↓          -6     ↑

y'=3x^2+3*2x-9=0         +            0           -          0        +

 возрастает функция   х   ∠   -3         или         1  ∠  х              

 убывает                                             -3∠х∠1

y'=48-24-9= полож.  возрастает функция

y'=0+0-9=  отр      убывает

y'=3*4+3*4-9= пол.   возрастает

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания, а также поиска экстремумов функции $y = x^3 + 3x^2 - 9x - 1$, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $y$ по переменной $x$, которая представляет собой скорость изменения функции:

   $y'(x) = 3x^2 + 6x - 9$.

2. Найдите точки, в которых производная равна нулю, так как это могут быть точки экстремума:

   $3x^2 + 6x - 9 = 0$.

   Это уравнение можно упростить, разделив его на 3:

   $x^2 + 2x - 3 = 0$.

3. Решите это квадратное уравнение для $x$. Для этого можно использовать формулу дискриминанта:

   Дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = 2$ и $c = -3$.

   $D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$.

   Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

   $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.

   $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.

4. Теперь у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

5. Для определения промежутков возрастания и убывания функции, мы можем взять производные между найденными точками и определить их знаки:

   a) Между $-\infty$ и $-3$: Выберем $x = -4$, например. Тогда $y'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15$, что положительное число. Таким образом, функция возрастает на интервале $(-\infty, -3)$.

   b) Между $-3$ и $1$: Выберем $x = 0$. Тогда $y'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9$, что отрицательное число. Таким образом, функция убывает на интервале $(-3, 1)$.

   c) Между $1$ и $+\infty$: Выберем $x = 2$, например. Тогда $y'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15$, что снова положительное число. Таким образом, функция возрастает на интервале $(1, +\infty)$.

Теперь мы знаем, что функция возрастает на интервалах $(-\infty, -3)$ и $(1, +\infty)$, и убывает на интервале $(-3, 1)$.

Чтобы найти экстремумы, давайте подставим значения $x_1$ и $x_2$ обратно в исходную функцию $y(x)$:

Для $x_1 = 1$:

$y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 1 = 1 + 3 - 9 - 1 = -6$.

Для $x_2 = -3$:

$y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 1 = -27 + 27 + 27 - 1 = 26$