Question

Вычислить несобственный интеграл и установить расходимость Предел от -беск до беск

Answer 1

$\int\limits^{+\infty}_{-\infty }\, \dfrac{dx}{x^2+2x+2}=\lim\limits_{A \to -\infty}\int \limits_{A}^0\, \dfrac{dx}{x^2+2x+2}+\lim\limits_{B \to +\infty}\int\limits^{B}_0\, \dfrac{dx}{x^2+2x+2}=I\\\\\\\star \ \ \int \dfrac{dx}{x^2+2x+2}=\int \dfrac{dx}{(x+1)^2+1}=arctg(x+1)+C\ \ \star \\\\\\I=\lim\limits_{A \to -\infty}\Big(arctg(x+1)\Big)\Big|_{A}^0+\lim\limits_{B \to +\infty}\Big(arctg(x+1)\Big)\Big|_0^{B}=$

$=\lim\limits_{A \to -\infty}\Big(arctg1-arctg(A+1)\Big)+\lim\limits_{B \to +\infty}\Big(arctg(B+1)-arctg1\Big)=\\\\\\=\dfrac{\pi}{4}-\Big(-\dfrac{\pi}{2}\Big)+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=\pi \ \ ,\ \ \ \ sxoditsya$

Answer 2

Для вычисления несобственного интеграла и установления его расходимости, давайте рассмотрим определенный интеграл с бесконечными пределами:

∫[от -∞ до ∞] f(x) dx

1. Сначала определите функцию f(x), для которой вы хотите вычислить интеграл.

2. Затем проведем анализ на расходимость. Для этого давайте рассмотрим пределы интеграла:

lim[a -> -∞] ∫[от a до b] f(x) dx и lim[b -> ∞] ∫[от a до b] f(x) dx

Если хотя бы один из этих пределов равен бесконечности или не существует, то интеграл считается расходящимся.

3. Если оба предела существуют и конечны, тогда можно вычислить значение интеграла. Для этого используйте стандартные методы интегрирования.

Важно заметить, что несобственный интеграл с бесконечными пределами может как сходиться, так и расходиться, и это зависит от конкретной функции f(x) и её поведения в бесконечности.