Question

Помогите, пожалуйста решить. 1. Вычислить  площадь фигуры,  ограниченной  линиями /площадь области D/:  D:знак системы  у=х^2,   y= -x^2                                                x=1  2.Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость : ∫-4   -5   dx/ ∛(х+5)^4  

Answer 1

1) S=2*интеграл от 0 до 1 (x^2)dx = (2x^3)/3 от 0 до 1 = 2/3

2) интеграл от -5 до -4 (x+5)^(4/3)dx = ((x+5)^(7/3))/(7/3) от -5 до -4 = 

= (3(x+5)^(7/3))/7 = (3*(-4+5)^(7/3))/7  -  (3*(-5+5)^(7/3))/7 = 3/7

Answer 2

1. Фигура, ограниченная графиками у = х² и у = -х² является симметричной относительно оси OX, и ее площадь может быть найдена как удвоенная площадь верхней половины. Приравняв у = х² и у = -х², получаем: х² = -х², что означает, что х = 0. Таким образом, фигура симметрична относительно оси OY и ее границы находятся на интервале [-1, 1]. Таким образом, площадь фигуры можно найти, интегрируя функцию y = x² на интервале [-1, 1]:

∫[-1,1] x² dx = [x³/3]_[-1,1] = (1/3) - (-1/3) = 2/3

Таким образом, площадь фигуры равна 2/3.

2. Рассмотрим несобственный интеграл:

∫[-4,-5] dx / ∛(x+5)⁴

Заметим, что подынтегральная функция асимптотически приближается к 1/(x+5)^(4/3) при x → -5, что может привести к расходимости интеграла. Для того, чтобы установить сходимость или расходимость интеграла, рассмотрим интеграл:

∫[-4,-5] dx / (x+5)^(4/3)

Заменим переменную t = x+5, тогда dt = dx и пределы интегрирования изменятся на [-1,0]:

∫[-4,-5] dx / (x+5)^(4/3) = ∫[-1,0] dt / t^(4/3) = [3/2t^(1/3)]_[-1,0] = 3/2(0 - (-1)) = 3/2

Таким образом, данный несобственный интеграл сходится, и его значение равно 3/2.