Question

1+sin(x)^3+cos(x)^3=3/2*sin(2x) -решить уравнение Ответ:x= -п/4 + (-1)^(n+1) * п/4 + пn. Мне нужно решение через группировку множителей.

Answer 1

$1+\sin^3x+\cos^3x=\frac{3}{2}\sin 2x\\ \\ 1+\Big(\sin x+\cos x\Big)\Big(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x\Big)=\frac{3}{2}\cdot 2\sin x\cos x\\ \\ 1+\Big(\sin x+\cos x\Big)\Big(1-\sin x\cos x\Big)=3\sin x\cos x$

Пусть $\sin x+\cos x=t$, причем равенство выполнено при условии $|t|\leq \sqrt{2}$, тогда, возводим обе части равенства, имеем $1+2\sin x\cos x=t^2$ отсюда $\sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}$.

$1+t\cdot \Big(1-\dfrac{t^2-1}{2}\Big)=3\cdot \dfrac{t^2-1}{2}~~~~~~~~~~~\Bigg|\cdot 2\\ \\ 2+t\Big(3-t^2\Big)=3\Big(t^2-1\Big)\\ \\ 2+3t-t^3=3t^2-3\\ \\ t^3+3t^2-3t-5=0$

Кубическое уравнение решим методом разложения на множители. Для этого разложим одночлены в сумму нескольких.

$t^3+t^2+2t^2+2t-5t-5=0$

$t^2(t+1)+2t(t+1)-5(t+1)=0\\ (t+1)(t^2+2t-5)=0\\ t_1=-1\\ \\ t^2+2t-5=0\\ (t+1)^2-6=0\\ \\ t_{2,3}=-1\pm\sqrt{6}$

Корни $t=-1\pm\sqrt{6}$ не удовлетворяют нашему условию.

Обратная замена.

$\sin x+\cos x=-1~~~~~~~~\Bigg|\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin x\cdot \cos \frac{\pi}{4}+\cos x\cdot \sin\frac{\pi}{4}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin \Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ x+\dfrac{\pi}{4}=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение с помощью группировки множителей. Ваше уравнение:

1 + sin(x)^3 + cos(x)^3 = (3/2) * sin(2x)

Сначала сгруппируем синусы и косинусы:

(sin(x)^3 + cos(x)^3) = (3/2) * sin(2x) - 1

Теперь воспользуемся формулой суммы кубов:

(sin(x) + cos(x))(sin(x)^2 - sin(x) * cos(x) + cos(x)^2) = (3/2) * sin(2x) - 1

Используем тригонометрические тождества:

1 = sin^2(x) + cos^2(x) (тождество Пифагора) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим их в уравнение:

(sin(x) + cos(x))(sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x)) = (3/2) * 2sin(x)cos(x) - 1

(sin(x) + cos(x))(sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x)) = 3sin(x)cos(x) - 1

Теперь используем следующее тригонометрическое тождество:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Заменим sin^2(x) + cos^2(x) на 1 в выражении:

(sin(x) + cos(x))(1 - sin(x)cos(x)) = 3sin(x)cos(x) - 1

Раскроем скобки:

sin(x) + cos(x) - sin(x)cos(x) - sin^2(x)cos(x) = 3sin(x)cos(x) - 1

Теперь переносим все члены уравнения на одну сторону:

sin(x) + cos(x) - sin(x)cos(x) - 3sin(x)cos(x) + 1 = 0

Сгруппируем слагаемые с sin(x) и cos(x):

sin(x) + cos(x) - 3sin(x)cos(x) - sin(x)cos(x) + 1 = 0

(sin(x) + cos(x) - 1)(1 - 3sin(x)cos(x)) = 0

Теперь можем решить два уравнения:

1. sin(x) + cos(x) - 1 = 0
2. 1 - 3sin(x)cos(x) = 0

Решение первого уравнения:

sin(x) + cos(x) - 1 = 0

sin(x) = 1 - cos(x)

Теперь используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin^2(x) + (1 - sin(x))^2 = 1

sin^2(x) + 1 - 2sin(x) + sin^2(x) = 1

2sin^2(x) - 2sin(x) = 0

2sin(x)(sin(x) - 1) = 0

Теперь решим это уравнение:

1. sin(x) = 0
2. sin(x) - 1 = 0

Для уравнения 1):

sin(x) = 0

x = n*pi, где n - целое число.

Для уравнения 2):

sin(x) - 1 = 0

sin(x) = 1

x = pi/2 + 2pin, где n - целое число.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

1 - 3sin(x)cos(x) = 0

3sin(x)cos(x) = 1

sin(2x) = 1/3

Теперь найдем угол, для которого sin(2x) = 1/3. Это можно сделать с помощью обратных тригонометрических функций:

2x = arcsin(1/3)

x = (1/2) * arcsin(1/3)

Таким образом, у нас есть два набора решений:

1. x = n*pi, где n - целое число.
2. x = (1/2) * arcsin(1/3) + 2pin, где n - целое число.

Теперь объединим эти два набора решений:

x = npi, где n - целое число, x = (1/2) * arcsin(1/3) + 2pi*n, где n - целое число.

Таким образом, это и есть решение уравнения через группировку множителей.