Question

Докажите что при любом нечетном значении n значение выражения: 5n+11n+2 делится на 6

Answer 1

5^1 ≡ 5 (mod 6)

5^2 ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)

5^(2k) ≡ 1 (mod 6)

5^(2k + 1) ≡ 5 (mod 6)

5^n ≡ 5 (mod 6)

11^1 ≡ 5 (mod 6)

11^2 ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)

11^(2k) ≡ 1 (mod 6)

11^(2k + 1) ≡ 11 ≡ 5 (mod 6)

11^n ≡ 5 (mod 6)

5^n + 11^n + 2 ≡ 5 + 5 + 2 = 12 ≡ 0 (mod 6)

5^n + 11^n + 2 ≡ 0 (mod 6)

5^n + 11^n + 2 делится на 6

для нечётных: n=2k+1

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение методом математической индукции.

1. Базовый случай (n = 1): Подставим n = 1 в выражение: 5n + 11n + 2 = 51 + 111 + 2 = 5 + 11 + 2 = 18. 18 делится на 6 без остатка (18 / 6 = 3).

2. Предположение индукции: Допустим, что для некоторого нечетного n, выражение 5n + 11n + 2 делится на 6 без остатка, то есть есть целое число k такое, что 5n + 11n + 2 = 6k.

3. Шаг индукции: Рассмотрим следующее нечетное значение n = 2m + 1, где m - некоторое целое число. Мы знаем, что n нечетное, поэтому m - четное.

   Теперь выразим 5n + 11n + 2 в терминах m: 5n + 11n + 2 = 5(2m + 1) + 11(2m + 1) + 2 = 10m + 5 + 22m + 11 + 2 = 32m + 18.

   Мы видим, что 32m + 18 можно представить как 2(16m + 9), то есть это четное число, делится на 2.

   Теперь мы знаем, что 32m + 18 делится на 2, и по предположению индукции, 5n + 11n + 2 делится на 6. Но если число делится одновременно на 2 и на 6, то оно также делится на их НОК, то есть на 6.

Таким образом, мы доказали по индукции, что для любого нечетного значения n, выражение 5n + 11n + 2 делится на 6 без остатка.