Question

Введите все остатки, которые может давать число m6+n6 (числа m и n — целые) при делении на 9.

Answer 1

Ответ:

0; 1; 2

Объяснение:

Требуется найти, какие остатки может давать число m^6 + n^6 (сумма шестых степеней любых двух чисел) при делении на 9.

При делении числа k на 9 остаток может быть любым от 0 до 8.

Но число k^6 дает такие остатки при делении на 9:

1) Если остаток при делении k на 9 равен 0:

k = 9n, k^6 = (9n)^6 = 9^6*n^6, остаток p = 0.

2) Если остаток при делении k на 9 равен 1:

k = 9n+1, k^6 = (9n+1)^6 = 9*(...) + 1^6 = 9*(...) + 1, остаток p = 1.

3) Если остаток при делении k на 9 равен 2:

k = 9n+2, k^6 = (9n+2)^6 = 9*(...) + 2^6 = 9*(...) + 64 = 9*(...) + 63 + 1, остаток p = 1.

4) Если остаток при делении k на 9 равен 3:

k = 9n+3, k^6 = (9n+3)^6 = 9*(...) + 3^6 = 9*(...) + 9*3^4, остаток p = 0.

5) Если остаток при делении k на 9 равен 4:

k = 9n+4, k^6 = (9n+3+1)^6 = 9*(...) + 1^6 = 9*(...) + 1, остаток p = 1.

6) Если остаток при делении k на 9 равен 5:

k = 9n+5, k^6 = (9n+3+2)^6 = 9*(...) + 2^6 = 9*(...) + 64 = 9*(...) + 63 + 1, остаток p = 1.

7) Если остаток при делении k на 9 равен 6:

k = 9n+2, k^6 = (9n+6)^6 = 9*(...) + 6^6 = 9*(...) + 9*4*6^4, остаток p = 0.

8) Если остаток при делении k на 9 равен 7:

k = 9n+2, k^6 = (9n+6+1)^6 = 9*(...) + 1^6 = 9*(...) + 1, остаток p = 1.

9) Если остаток при делении k на 9 равен 8:

k = 9n+8, k^6 = (9n+6+2)^6 = 9*(...) + 2^6 = 9*(...) + 64 = 9*(...) + 63 + 1, остаток p = 1.

Как видим, любое число в 6 степени при делении на 9 может давать остатки только 0 или 1.

Поэтому сумма m^6 + n^6 может давать остатки:

1) 0 + 0 = 0

2) 0 + 1 = 1 + 0 = 1

3) 1 + 1 = 2

Answer 2

Для понимания остатков, которые может давать число m^6 + n^6 при делении на 9, давайте рассмотрим возможные остатки m и n при делении на 9:

1. m % 9 и n % 9 могут быть от 0 до 8, так как это остатки от деления на 9.
2. m^6 и n^6 будут иметь те же остатки при делении на 9, что и сами m и n, так как возведение в степень не изменяет остаток при делении на 9, если основание и делитель взаимно просты.

Теперь давайте рассмотрим остатки m^6 + n^6 при делении на 9 в зависимости от остатков m и n:

• Если m % 9 = 0 и n % 9 = 0, то m^6 % 9 = 0 и n^6 % 9 = 0, следовательно, (m^6 + n^6) % 9 = 0 + 0 = 0.
• Если m % 9 = 1 и n % 9 = 1, то m^6 % 9 = 1 и n^6 % 9 = 1, следовательно, (m^6 + n^6) % 9 = 1 + 1 = 2.
• По аналогии, если m % 9 = 2 и n % 9 = 2, то (m^6 + n^6) % 9 = 2 + 2 = 4.
• Если m % 9 = 3 и n % 9 = 3, то (m^6 + n^6) % 9 = 3 + 3 = 6.
• Если m % 9 = 4 и n % 9 = 4, то (m^6 + n^6) % 9 = 4 + 4 = 8.
• Если m % 9 = 5 и n % 9 = 5, то (m^6 + n^6) % 9 = 5 + 5 = 1.
• Если m % 9 = 6 и n % 9 = 6, то (m^6 + n^6) % 9 = 6 + 6 = 3.
• Если m % 9 = 7 и n % 9 = 7, то (m^6 + n^6) % 9 = 7 + 7 = 5.
• Если m % 9 = 8 и n % 9 = 8, то (m^6 + n^6) % 9 = 8 + 8 = 7.

Итак, остатки m^6 + n^6 при делении на 9 могут быть равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, в зависимости от остатков m и n при делении на 9.