Question

Помогите.....воспользуйтесь методом замены переменной и решите уравнение (x-4)²+1/x²-8x+16=2

Answer 1

Ответ:

$(x-4)^2+\dfrac{1}{x^2-8x+16}=2\ \ ,\\\\\\(x-4)^2+\dfrac{1}{(x-4)^2}=2\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ x\ne 4\\\\\\t=(x-4)^2>0\ \ ,\ \ t+\dfrac{1}{t}-2=0\ \ ,\ \ \ \dfrac{t^2-2t+1}{t}=0\ \ ,\ \ \dfrac{(t-1)^2}{t}=0\ ,\\\\(t-1)^2=0\ \ \ \to \ \ \ t-1=0\ \ ,\ \ \ t=1\ ,\\\\(x-4)^2=1\ \ ,\ \ (x-4)^2-1^2=0\ \ ,\\\\(x-4-1)(x-4+1)=0\\\\(x-5)(x-3)=0\\\\x_1=5\ \ ,\ \ x_2=3$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение (x - 4)² + 1 / (x² - 8x + 16) = 2 и воспользуемся методом замены переменной.

Сначала давайте внесем 2 на правую сторону уравнения:

(x - 4)² + 1 / (x² - 8x + 16) - 2 = 0

Теперь давайте введем новую переменную, скажем, y = x - 4. Тогда x = y + 4, и мы можем переписать уравнение следующим образом:

y² + 1 / (y² - 8(y + 4) + 16) - 2 = 0

Теперь упростим второе слагаемое, раскрыв скобки и сократив:

y² + 1 / (y² - 8y - 32 + 16) - 2 = 0

y² + 1 / (y² - 8y - 16) - 2 = 0

Теперь умножим обе стороны уравнения на (y² - 8y - 16), чтобы избавиться от дроби:

y²(y² - 8y - 16) + 1 - 2(y² - 8y - 16) = 0

Теперь раскроем скобки:

y⁴ - 8y³ - 16y² + y² - 8y - 16 - 2y² + 16y + 32 = 0

y⁴ - 9y³ - 17y² + 8y + 16 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y². Давайте введем новую переменную, скажем, z = y²:

z² - 9z - 17z + 8 + 16 = 0

z² - 26z + 24 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(z - 6)(z - 4) = 0

Имеем два возможных значения z:

1. z - 6 = 0 => z = 6
2. z - 4 = 0 => z = 4

Теперь вернемся к переменной y:

1. Если z = 6, то y² = 6, и y может быть равно ±√6.
2. Если z = 4, то y² = 4, и y может быть равно ±2.

Теперь вернемся к исходной переменной x:

1. Если y = √6, то x = √6 + 4.
2. Если y = -√6, то x = -√6 + 4.
3. Если y = 2, то x = 2 + 4 = 6.
4. Если y = -2, то x = -2 + 4 = 2.

Итак, у нас есть четыре корня уравнения:

1. x = √6 + 4
2. x = -√6 + 4
3. x = 6
4. x = 2

Пожалуйста, убедитесь в правильности решения, проверив каждое значение x в исходном уравнении.