Question

Найти производную f(x)=(4x^2-x^4)^2​

Answer 1

Ответ:

$f(x) = {(4 {x}^{2} - {x}^{4}) }^{2} \\ 16 {x}^{4} - 8 {x}^{6} + {x}^{8}$

f'(x) =8x^7-48x^5+64x^3=8x³(x⁴-6x²+8)

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = (4x^2 - x^4)^2$, мы можем использовать правило цепочки. Сначала найдем производную внешней функции (квадрата) и затем производную внутренней функции (4x^2 - x^4).

1. Найдем производную внешней функции, возведенной в квадрат. Пусть $u(x) = 4x^2 - x^4$, тогда $f(x) = u^2(x)$. Производная внешней функции в этом случае будет:

$f'(x) = 2u(x) \cdot u'(x)$

2. Теперь найдем производную внутренней функции $u(x)$. Используя правила степенной функции, мы получаем:

$u'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 - x^4) = 8x - 4x^3$

3. Теперь мы можем подставить значение $u'(x)$ в выражение для производной $f(x)$:

$f'(x) = 2u(x) \cdot (8x - 4x^3)$

4. Теперь заменяем $u(x)$ обратно на исходное выражение $4x^2 - x^4$:

$f'(x) = 2(4x^2 - x^4) \cdot (8x - 4x^3)$

5. Упростим это выражение, раскрыв скобки и умножив:

$f'(x) = 2(32x^3 - 4x^5 - 8x^4 + x^6)$

6. Теперь можно дополнительно упростить, объединив подобные члены:

$f'(x) = 64x^3 - 8x^5 - 16x^4 + 2x^6$

И вот мы получили производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 2x^6 - 8x^5 - 16x^4 + 64x^3$

Это и есть производная данной функции.