Question

. Докажите тождество:1) sin2 х - cos2 х = sin xsin4 x - cos4 x;​

Answer 1

Объяснение: там все сводится к основному тригонометрическому тождеству

Answer 2

Для доказательства данного тождества используем тригонометрические тождества. Начнем с левой части равенства:

sin^2(x) - cos^2(x)

Используем известное тригонометрическое тождество:

sin^2(x) - cos^2(x) = sin^2(x) - (1 - sin^2(x)) = 2sin^2(x) - 1

Теперь перейдем к правой части равенства:

sin(x)sin^4(x) - cos^4(x)

Мы можем выразить sin^4(x) через sin^2(x) с помощью тождества sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

sin(x)(1 - cos^2(x))^2 - cos^4(x)

Раскроем квадрат:

sin(x)(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) - cos^4(x)

Распределите sin(x):

sin(x) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^4(x) - cos^4(x)

Теперь объединим последние два члена:

sin(x) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^4(x) - cos^4(x) = sin(x) - cos^4(x) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^4(x)

Теперь мы видим, что у нас есть sin(x) - cos^4(x) как в левой части, и мы можем заменить его:

sin(x) - cos^4(x) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^4(x) = (2sin^2(x) - 1) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^4(x)

Теперь у нас есть выражение (2sin^2(x) - 1) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x)cos^4(x), которое равно левой части исходного тождества:

sin^2(x) - cos^2(x) = sin(x)sin^4(x) - cos^4(x)

Таким образом, мы доказали заданное тождество:

sin^2(x) - cos^2(x) = sin(x)sin^4(x) - cos^4(x)