Question

В треугольнике первый угол меньше второго на 30° и больше третьего на 30°. Сумма длин наибольшей и наименьшей сторон треугольника равна 24. Найди длину наибольшей стороны треугольника.​

Answer 1

Ответ:

AB = 16

Объяснение:

Дано: ∠2 = ∠3 - 30°, ∠2 = ∠1 + 30°, AC + AB = 24

Найти: AB - ?

Решение: ∠2 = ∠3 - 30° ⇒ ∠3 = ∠2 + 30°.

∠2 = ∠1 + 30° ⇒ ∠1 = ∠2 - 30°.

По теореме про сумму углов треугольника:

∠1 + ∠2 + ∠3 =  180°

∠2 - 30° + ∠2 + ∠2 + 30° = 180°

3∠2 = 180°|:3

∠2 = 60°.

∠1 = ∠2 - 30° = 60° - 30° = 30°.

∠3 = ∠3 + 30° = 60° + 30° = 90°.

По теореме против большего угла лежит большая сторона, тогда наибольшая сторона треугольника AB, так как лежит напротив угла ∠ACB, а наименьшая AC, так как лежит напротив угла ∠ABC.

(∠BAC < ∠ABC < ∠ACB; 30° < 60° < 90°).

По теореме в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы, тогда AC = 0,5AB.

AC + AB = 24

0,5AB + AB = 24

1,5AB = 24|:1,5

AB = 16.

Answer 2

Давайте обозначим углы треугольника как A, B и C, а их соответствующие стороны как a, b и c. У нас есть следующая информация:

1. Угол A меньше угла B на 30°: A = B - 30°.
2. Угол A больше угла C на 30°: A = C + 30°.
3. Сумма длин наибольшей и наименьшей сторон треугольника равна 24: a + c = 24.

Мы также знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

A + B + C = 180°

Теперь мы можем использовать эти уравнения, чтобы решить задачу. Заменим угол A в выражении для суммы углов:

(B - 30°) + B + (B - 30°) = 180°

Теперь решим это уравнение:

3B - 60° = 180°

3B = 180° + 60° 3B = 240°

B = 240° / 3 B = 80°

Теперь мы знаем угол B, и мы можем найти угол A и угол C:

A = B - 30° = 80° - 30° = 50° C = A - 30° = 50° - 30° = 20°

Теперь у нас есть значения углов треугольника: A = 50°, B = 80° и C = 20°.

Также у нас есть уравнение для суммы наибольшей и наименьшей сторон:

a + c = 24

Теперь мы хотим найти длину наибольшей стороны, которая соответствует углу B. Мы можем использовать закон синусов:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

Мы уже знаем углы A, B и C, а также сумму a и c. Мы хотим найти b (длину наибольшей стороны), поэтому нам нужно найти sin(B). Используя угол B (80°), мы можем вычислить sin(80°) и затем найти b:

sin(80°) = b / sin(20°)

Теперь выразим b:

b = sin(80°) * sin(20°) * (a + c)

Теперь мы можем подставить значения sin(80°) и sin(20°), а также сумму a и c (которая равна 24):

b = sin(80°) * sin(20°) * 24

Вычислите это значение, чтобы найти длину наибольшей стороны b.