Question

Вычислите производную функции f(x)=tgx-2 x=п/3​

Answer 1

$f(x)=tgx-2\\\\f'(x)=(tgx)'-2' =\frac{1}{Cos^{2}x }-0=\frac{1}{Cos^{2}x}\\\\f'(\frac{\pi }{3})=\frac{1}{Cos^{2}\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^{2}}=4$

Answer 2

Для вычисления производной функции $f(x) = \tan(x) - 2$ в точке $x = \frac{\pi}{3}$, мы будем использовать правило дифференцирования для тригонометрической функции тангенса:

$\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)$.

Теперь мы можем вычислить производную $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan(x) - 2) = \frac{d}{dx}(\tan(x)) - \frac{d}{dx}(2) = \sec^2(x) - 0 = \sec^2(x).$

Теперь подставим $x = \frac{\pi}{3}$ для вычисления производной в этой точке:

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sec^2\left(\frac{\pi}{3}\right).$

Чтобы вычислить значение $\sec^2\left(\frac{\pi}{3}\right)$, нам нужно знать значение секанса ($\sec$) в этой точке. Секанс - это обратное значение косинуса, и в данном случае:

$\sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}$.

Для вычисления косинуса $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$, мы можем использовать геометрическое представление треугольника равностороннего треугольника с углом $\frac{\pi}{3}$. В этом случае $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Теперь мы можем вычислить секанс и производную:

$\sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2,$

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sec^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2^2 = 4.$

Итак, производная функции $f(x)$ в точке $x = \frac{\pi}{3}$ равна 4.