Question

Найдите точку минимума функции у=(х+8)^2×е^-х-3

Answer 1

Ответ:

Точка минимума -8

Объяснение:

Чтобы найти точку минимума мы сначало приравняем производную этой функции на ноль и находим критические точки:

y'=((x+8)^2*e^x)'-(3)'=((x+8)^2)'*e^x+(e^x)'*(x+8)^2; используя таблицу формул производных получим e^x(x^2+18x+80)=0, так как e^x всегда положительна можем разделить уравнение на е^x, получим окончательный вид уравнения х^2+18x+80=0, а это квадратное уравнение; решив это уравнение получим корни x1=-10 и x2=--8;

эти точки расчитываем на интервале и узнав положительность и отрицательность интервала; и получим +.-.+ где минимумом функции является точка в интервале -.+; а это точка -8.

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции у(х), мы сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем мы проверим вторую производную, чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом. Давайте начнем:

1. Найдем производную функции у(х):

у'(х) = [(х+8)^2 * e^(-х)]' - 3' у'(х) = [(х+8)^2 * e^(-х)]' - 0

Для нахождения производной [(х+8)^2 * e^(-х)] сначала используем произведение функций:

[(х+8)^2 * e^(-х)]' = (х+8)^2 * (e^(-х))' + e^(-х) * [(х+8)^2]'

Теперь найдем производные от составляющих частей:

(e^(-х))' = -e^(-х) (х+8)^2' = 2(х+8)

Подставим эти производные обратно в уравнение:

у'(х) = (х+8)^2 * (-e^(-х)) + e^(-х) * 2(х+8)

2. Упростим это выражение:

у'(х) = 2(х+8)(e^(-х)) - (х+8)^2(e^(-х))

3. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2(х+8)(e^(-х)) - (х+8)^2(e^(-х)) = 0

Мы видим, что в этом уравнении есть общий множитель e^(-х), который можно сократить:

e^(-х)[2(х+8) - (х+8)^2] = 0

4. Решим уравнение для х:

2(х+8) - (х+8)^2 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить, например, с помощью квадратного корня. Решение этого уравнения даст нам критические точки.

5. После нахождения критических точек, мы должны проверить вторую производную, чтобы определить, являются ли они минимумами. Если вторая производная положительна, то точка является минимумом.

Этот процесс может быть довольно сложным вручную, поэтому лучше использовать программное обеспечение для вычисления критических точек и их характеристик.