Question

Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = 2t + 1. Знайти закон руху тіла S(t), якщо S(t) =3​

Answer 1

Если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t), а обратное: S(t) = ∫v(t)dt.

$S(t)=\displaystyle \int v(t)dt=\int (2t+1)dt=t^2+t+C$

Из условия S(t₀) = 3 получим $C=3-t_0^2-t_0$, где t₀ - какое-то значение (оно в условии не указано и скорее всего ошибка в ней).

Закон движения тела $S(t)=t^2+t+3-t_0^2-t_0$

Answer 2

Для знаходження закону руху тіла $S(t)$, вам потрібно інтегрувати функцію швидкості $v(t)$ щодо часу $t$. Ось як це робиться:

$S(t) = \int v(t) dt$

У вашому випадку $v(t) = 2t + 1$, тому ми інтегруємо цю функцію за відомими правилами:

$S(t) = \int (2t + 1) dt$

Тепер обчислимо цей інтеграл:

$S(t) = \int 2t dt + \int 1 dt$

$S(t) = t^2 + t + C$

Де $C$ - це константа інтеграції. Цю константу можна визначити, знаючи початковий момент часу $t_0$ та початкове положення $S_0$ тіла. Якщо $S(t_0) = S_0$, то:

$S_0 = t_0^2 + t_0 + C$

Звідси можна виразити $C$:

$C = S_0 - t_0^2 - t_0$

Отже, закон руху тіла $S(t)$ виглядає так:

$S(t) = t^2 + t + (S_0 - t_0^2 - t_0)$

Це закон руху тіла в залежності від часу $t$, де $S_0$ - початкове положення тіла, $t_0$ - початковий момент часу.