Question

Исследование функции с помощью производных и и построение графика функции f(x)=(1+2x)(2x-1). Найти f(0,5)

Answer 1

Ответ:

f(0,5)=(1+2×0,5)(2×0,5-1)=(1+1)(1-1)=0

Answer 2

Для исследования функции $f(x) = (1 + 2x)(2x - 1)$ и нахождения значения функции в точке $x = 0.5$, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции $f(x)$.
2. Исследуем производную, чтобы найти экстремумы и точки перегиба.
3. Построим график функции $f(x)$.
4. Найдем значение функции $f(0.5)$.

Шаг 1: Найдем производную $f'(x)$:

$f(x) = (1 + 2x)(2x - 1)$

Для этого воспользуемся правилом производной произведения:

$f'(x) = (1 + 2x)'(2x - 1) + (1 + 2x)(2x - 1)'$

$f'(x) = (2 + 2)(2x - 1) + (1 + 2x)(2)$

$f'(x) = 4(2x - 1) + 2(1 + 2x)$

$f'(x) = 8x - 4 + 2 + 4x$

$f'(x) = 12x - 2$

Шаг 2: Теперь найдем экстремумы и точки перегиба, если они есть, а также определим интервалы возрастания и убывания производной. Для этого приравняем $f'(x)$ к нулю и найдем критические точки:

$12x - 2 = 0$

$12x = 2$

$x = \frac{1}{6}$

Это критическая точка. Для определения интервалов возрастания и убывания можно взять тестовую точку справа и слева от нее. Например, если $x < \frac{1}{6}$, то $f'(\frac{1}{6} - \epsilon)$, и если $x > \frac{1}{6}$, то $f'(\frac{1}{6} + \epsilon)$, где $\epsilon$ - небольшое положительное число.

Для $x < \frac{1}{6}$: $f'(\frac{1}{6} - \epsilon) = 12(\frac{1}{6} - \epsilon) - 2 = 2 - 12\epsilon$

Это отрицательное значение при достаточно маленьком $\epsilon$, поэтому производная $f(x)$ убывает в этом интервале.

Для $x > \frac{1}{6}$: $f'(\frac{1}{6} + \epsilon) = 12(\frac{1}{6} + \epsilon) - 2 = 2 + 12\epsilon$

Это положительное значение при достаточно маленьком $\epsilon$, поэтому производная $f(x)$ возрастает в этом интервале.

Шаг 3: Теперь построим график функции $f(x)$ на основе полученных данных:

• У нас есть критическая точка $x = \frac{1}{6}$, где производная обращается в нуль.
• Мы знаем, что производная убывает до этой точки и возрастает после нее.

Теперь можно построить график. Он будет иметь минимум в точке $x = \frac{1}{6}$, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный. График будет выглядеть как парабола, открывающаяся вверх, и минимум будет находиться выше оси X.

Шаг 4: Найдем значение функции $f(x)$ в точке $x = 0.5$:

$f(0.5) = (1 + 2 \cdot 0.5)(2 \cdot 0.5 - 1)$ $f(0.5) = (1 + 1)(1 - 1)$ $f(0.5) = 2 \cdot 0$ $f(0.5) = 0$

Итак, значение функции