Question

Докажите что значение выражения 54³-24³ делится на 30​

Answer 1

Объяснение:

(54^3-24^3)÷30=

(54-24)(54^2-54×24+24^2)÷30=

30(54^2-54×24+24^2)÷30=54^2-54×24+24^2

Answer 2

Чтобы доказать, что значение выражения $54^3 - 24^3$ делится на 30, давайте воспользуемся факторизацией и свойствами деления.

Для начала, разложим $54^3$ и $24^3$ на множители:

$$54^3 = (2 \cdot 3^3)^3 = 2^3 \cdot 3^9$$

$$24^3 = (2^3 \cdot 3)^3 = 2^9 \cdot 3^3$$

Теперь мы можем выразить $54^3 - 24^3$ как разницу двух кубов:

$$54^3 - 24^3 = (2^3 \cdot 3^9) - (2^9 \cdot 3^3)$$

Теперь давайте разложим это выражение на множители и упростим его:

$$(2^3 \cdot 3^9) - (2^9 \cdot 3^3) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot (3^6 - 2^6)$$

Теперь мы видим, что $54^3 - 24^3$ можно выразить как произведение $2^3 \cdot 3^3$ и некоторого целого числа $(3^6 - 2^6)$. Для того чтобы доказать, что это выражение делится на 30, давайте рассмотрим два множителя отдельно:

1. $2^3 \cdot 3^3$ - это произведение двух чисел, которые точно делятся на 2 и 3. Следовательно, оно делится на 6 (потому что 6 - это наименьшее общее кратное 2 и 3).

2. $3^6 - 2^6$ - это разница двух шестых степеней чисел 3 и 2. Мы можем применить разность квадратов для упрощения этого выражения:

$$3^6 - 2^6 = (3^3 + 2^3)(3^3 - 2^3)$$

Теперь давайте разложим $3^3 + 2^3$ и $3^3 - 2^3$:

$$3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$$

$$3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19$$

Обратите внимание, что 35 делится на 5, а 19 не делится на 5.

Итак, мы видим, что $3^6 - 2^6$ можно записать как произведение 5 (которое делится на 5) и 19 (которое не делится на 5).

Теперь мы можем собрать все вместе:

$$54^3 - 24^3 = (2^3 \cdot 3^3) \cdot (3^6 - 2^6) = 6 \cdot (5 \cdot 19)$$

Теперь мы видим, что $54^3 - 24^3$ представляет собой произведение числа, которое делится на 6, и числа, которое делится на 5 (но не делится на 30, так как 19 не делится на 6). Таким образом, исходное выражение $54^3 - 24^3$ делится на 6, но не обязательно на 30.