Question

Докажите, что значение выражения 466^3+34^3 делится на 500

Answer 1

466^3+34^3=(466+34) (466^2-466*34+34^2)=500(466^2-466*34+34^2)=> если один из множителей делится на 500,то и всё произведение делится на 500

(я здесь новичок, но в школе я отличник. Так что ответ правельный)

Answer 2

Для доказательства, что значение выражения $466^3+34^3$ делится на 500, нужно показать, что это выражение является кратным 500, то есть делится на 500 без остатка. Для этого давайте разложим это выражение и проверим его делимость на 500.

$$466^3 + 34^3 = (465 + 1)^3 + (35 - 1)^3$$

Теперь воспользуемся биномом Ньютона для разложения кубов:

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Применяя эту формулу к обоим слагаемым, получаем:

$$(465 + 1)^3 + (35 - 1)^3 = 465^3 + 3 \cdot 465^2 \cdot 1 + 3 \cdot 465 \cdot 1^2 + 1^3 + 35^3 - 3 \cdot 35^2 \cdot 1 + 3 \cdot 35 \cdot (-1)^2 + (-1)^3$$

Теперь упростим это выражение:

$$465^3 + 1 + 3 \cdot 465^2 + 3 \cdot 465 - 35^3 + 1 - 3 \cdot 35 + 1$$

Сгруппируем члены:

$$(465^3 - 35^3) + 3 \cdot (465^2 - 35)$$

Теперь давайте разложим разность кубов, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$$(465^3 - 35^3) = (465 - 35)(465^2 + 465 \cdot 35 + 35^2)$$

Снова упростим:

$$(430)(465^2 + 465 \cdot 35 + 35^2) + 3 \cdot (465^2 - 35)$$

Мы видим, что первое слагаемое является кратным 500, так как оно равно произведению 430 и некоторого целого числа. Второе слагаемое также кратно 500, так как это произведение 3 и некоторого целого числа. Таким образом, сумма этих двух слагаемых также будет кратной 500.

Итак, мы доказали, что $466^3+34^3$ делится на 500 без остатка.