Question

Найдите сумму длин интервалов, на которой выполняется неравенство x^2-x≤36/(x^2-x)

Answer 1

Ответ:

↓

Объяснение:

х²-x≤36/(x²-x) ОДЗ : х²-х≠0, при х≠0  и х≠1.

х²-х=а,

а≤$\frac{36}{а}$, а-$\frac{36}{а}$ ≤0,    $\frac{a^{2} -36}{a} \leq 0$   ,$\frac{(a-6)(a+6)}{a} \leq 0$ при a ≤-6, 0<a≤6

____[-6]____(0)_____[6]______

  -             +            -               +

a≤-6, х²-х+6≤0 ,х²-х+6=0 , D=-23/  решений нет

0<a≤6,    0<х²-х≤6  .$\left \{ {{x^{2}-x>0 } \atop {{x^{2}-x\leq 6} \right.$  ,    .$\left \{ {{x(x-1)>0 } \atop {{x^{2}-x-6\leq 0} \right.$  ,

x(x-1)>0

____(0)______(1)_______

  +            -               +               (-∞;0) ∪(1;+∞)

х²-х-6≤0 , (x-3)(x+2)≤0

____[-2]______[3]_______

  +            -               +               [-2 ,3]

общее решение системы [-2;0 )∪ (1 ;3]

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала нужно найти интервалы, на которых оно выполняется. Затем можно вычислить сумму длин этих интервалов.

Начнем с неравенства:

x^2 - x ≤ 36/(x^2 - x)

Сначала упростим его, убрав общий множитель (x^2 - x) из обеих сторон:

x^2 - x ≤ 36/(x^2 - x)

Теперь умножим обе стороны на (x^2 - x), учитывая, что x^2 - x не может быть равно нулю (поскольку знаменатель не может быть равен нулю):

(x^2 - x)(x^2 - x) ≤ 36

Теперь раскроем скобки:

x^4 - 2x^3 + x^2 ≤ 36

Теперь перенесем все элементы на левую сторону:

x^4 - 2x^3 + x^2 - 36 ≤ 0

Это квадратное неравенство в четвертой степени. Чтобы найти интервалы, на которых оно выполняется, мы можем воспользоваться методом знаков. Для этого найдем корни уравнения:

x^4 - 2x^3 + x^2 - 36 = 0

Затем мы можем анализировать знаки между корнями.

Попробуем найти корни этого уравнения:

x^4 - 2x^3 + x^2 - 36 = 0

(x^2 - 6)(x^2 + 6) = 0

x^2 - 6 = 0 => x = ±√6 x^2 + 6 = 0 => нет действительных корней

Итак, корни уравнения - это x = √6 и x = -√6.

Теперь мы можем провести анализ знаков между этими корнями и за пределами них:

1. Если x < -√6, то x^2 - 6 < 0 и x^2 + 6 > 0. Таким образом, x^4 - 2x^3 + x^2 - 36 < 0.

2. Если -√6 < x < √6, то x^2 - 6 > 0 и x^2 + 6 > 0. Таким образом, x^4 - 2x^3 + x^2 - 36 > 0.

3. Если x > √6, то x^2 - 6 > 0 и x^2 + 6 > 0. Таким образом, x^4 - 2x^3 + x^2 - 36 < 0.

Итак, неравенство выполняется на интервалах:

1. x < -√6
2. √6 < x

Теперь найдем сумму длин этих интервалов. Для этого вычислим их длины:

Длина интервала (1): (-∞, -√6) Длина интервала (2): (√6, +∞)

Сумма длин интервалов: ∞

Таким образом, сумма длин интервалов, на которых выполняется данное неравенство, равна бесконечности (∞).