Question

Найдите сумму длин интервалов на которых выполняется неравенство 1+4x-x^2>20/(4x-x^2)

Answer 1

1+4x-x²>20/(4x-x²)      ОДЗ: 4x-x²≠0  x(4-x)≠0   x≠0    x≠4
(1+4x-x²)-20/(4x-x²)>0
((1+4x-x²)(4x-x²)-20)/(x(4-x))>0
(4x+16x²-4x³-x²-4x³+x⁴-20)/(x(4-x))>0
(x⁴-8x³+15x²+4x-20)/(x(4-x)>0
x⁴-8x³+15x²+4x-20=0
x₁=2
x⁴-8x³+15x²+4x-20 I_x-2_
x⁴-2x³              I x³-6x²+3x+10
--------
      -6x³+15x²
      -6x³+12x²
      -------------
                3x²+4x
                3x²-6x
                ---------
                       10x-20
                       10x-20
                       ----------
                                 0
x³-6x²+3x+10=0
x₂=2
x³-6x²+3x+10  I_x-2_
x³-2x²               I x²-4x-5
--------
     -4x²+3x
     -4x²+8x
     -----------
             -5x+10
             -5x+10
             ----------
                        0
x²-4x-5=0   D=36
x₃=-1    x₄=5.   ⇒
(x-2)²(x+1)(x-5)/(x(4-x)>0
-∞____-____-1_____+____0__-__2__-__4____+_____5____-____+∞
x∈(-1;0)U(4;5).
∑дл. инт.=(0-(-1))+(5-4)=1+1=2.
Ответ: ∑дл. инт.=2.

Answer 2

Начнем с неравенства 1 + 4x - x^2 > 20/(4x - x^2).

Для удобства обозначений, заменим 4x - x^2 на y. Тогда наше неравенство можно переписать в виде:

1 + y > 20/y.

Перенесем все выражения в левую часть неравенства:

y^2 + y - 20 > 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

(y - 4)(y + 5) > 0.

Для проще, построим график этой функции на оси Oy:

-5 4 |____|▃▃ |__| x <------->

Из графика видно, что неравенство выполняется на интервалах (-∞, -5) и (4, +∞)

Следовательно, сумма длин этих интервалов равна +∞, так как оба интервала неограничены.