Question

Найдите площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями y=x^2, y=0, x=3, x=5

Answer 1

$\displaystyle S=\int\limits^5_3 {x^2} \, dx=\frac{1}{3}(x^3)\bigg|^5_3=\frac{1}{3}(5^3-3^3)=\frac{98}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x^2, y = 0, x = 3 и x = 5, мы можем использовать определенный интеграл. Площадь такой трапеции можно выразить следующим образом:

$S = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$

где:

• $f(x)$ - верхняя функция (в данном случае y = x^2),
• $g(x)$ - нижняя функция (в данном случае y = 0),
• $a$ и $b$ - границы по оси x (в данном случае a = 3 и b = 5).

Таким образом, площадь данной криволинейной трапеции равна:

$S = \int_{3}^{5} [x^2 - 0] dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \int_{3}^{5} x^2 dx$

Теперь возьмем интеграл:

$S = \frac{x^3}{3} \bigg|_{3}^{5}$

Вычислим значения в точках 5 и 3 и найдем разницу:

$S = \frac{5^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{125}{3} - \frac{27}{3} = \frac{98}{3}$

Таким образом, площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями y = x^2, y = 0, x = 3 и x = 5 равна $\frac{98}{3}$ квадратных единиц (единиц квадратных длины).