Question

1. Разложить на множители многочлен 4x^3+8x^2-x​

Answer 1

4x³+8x²-x = x(4x²+8x-1)

Answer 2

Для разложения многочлена $4x^3+8x^2-x$ на множители, давайте сперва вынесем общий множитель, если он есть. В данном случае общий множитель - это 1, так как все коэффициенты многочлена можно разделить на 1 без остатка. Теперь мы можем разложить многочлен следующим образом:

$4x^3+8x^2-x = x(4x^2+8x-1)$

Теперь разберемся со вторым множителем $4x^2+8x-1$. Давайте попробуем разложить его на множители. Сначала найдем дискриминант квадратного уравнения $4x^2+8x-1=0$:

Дискриминант ($D$) равен:

$D = b^2 - 4ac$

где $a = 4$, $b = 8$, и $c = -1$.

$D = (8)^2 - 4(4)(-1) = 64 + 16 = 80$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два вещественных корня. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением для нахождения корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{80}}{2(4)}$

Теперь найдем корни:

$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{80}}{8} = \frac{-8 + 4\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{80}}{8} = \frac{-8 - 4\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

Таким образом, многочлен $4x^2+8x-1$ можно разложить на множители следующим образом:

$4x^2+8x-1 = 4(x - \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})(x - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2})$

Итак, полное разложение многочлена $4x^3+8x^2-x$ на множители:

$4x^3+8x^2-x = x \cdot 4(x - \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})(x - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2})$