Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = x ^ 4-2x ^ 2 + 5 на промежутке [-1; 3]

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f (x) = x ^ 4-2x ^ 2 + 5

f'(x)=4x³-4x

f'(x)=0

4x³-4x=0

4x(x²-1)=0

4x(x-1)(x+1)=0

нули: 0;-1;1;- все трое входят в отрезок [-1; 3]

f (-1) = (-1) ^ 4-2·(-1) ^ 2 + 5=4

f (0) =0 ^ 4-2·0 ^ 2 + 5=5

f (1) = 1 ^ 4-2·1 ^ 2 + 5=4 - наименьшее значение

f (3) =3 ^ 4-2·3 ^ 2 + 5=68 - наибольшее значение

Ответ: наименьшее значение равно 4;наибольшее значение равно 68

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ на промежутке $[-1, 3]$, мы сначала найдем производную функции и решим уравнение $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек, а затем используем вторую производную, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 4x^3 - 4x$

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение $4x^3 - 4x = 0$:

$4x(x^2 - 1) = 0$

У нас есть два случая: a. $4x = 0$, что означает, что $x = 0$ - это одна из критических точек. b. $x^2 - 1 = 0$, что означает, что $x^2 = 1$, и, следовательно, $x = \pm 1$.

Таким образом, у нас есть три критические точки: $x = -1$, $x = 0$, и $x = 1$.

3. Теперь найдем значения функции $f(x)$ в этих критических точках и на граничных точках промежутка $[-1, 3]$:

   a. $f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$ b. $f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5$ c. $f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$ d. $f(3) = 3^4 - 2(3)^2 + 5 = 81 - 18 + 5 = 68$

Таким образом, наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $[-1, 3]$ равно 4, и оно достигается в точках $x = -1$ и $x = 1$, а наибольшее значение функции равно 68 и оно достигается в точке $x = 3$.