Question

50 БАЛЛОВ Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-5; 5]

Answer 1

Ответ:

   $y_{min}=-\dfrac{1}{4}\ ,\ \ y_{max}=\dfrac{1}{16}\ ,\\\\y_{naimen.}=-\dfrac{8}{41}\ \ ,\ \ y_{naibol.}=\dfrac{2}{41}$  .

Решение.

$y=\dfrac{x-3}{x^2+16}\ \ ,\ \ x\in [-5\ ;\ 5\ ]\\\\\\y'=\dfrac{x^2+16-(x-3)\cdot 2x}{(x^2+16)^2}=\dfrac{-x^2+6x+16}{(x^2+16)^2}=0\ \ \Rightarrow \ \ \ -x^2+6x+16=0\\\\\\x^2-6x-16=0\ \ ,\ \ \ x_1=-2\ ,\ x_2=8\ \ \ (teorema\ Vieta)\\\\\\\dfrac{-(x+2)(x-8)}{(x^2+16)^2}=0\\\\\\znaki\ y'(x):\ \ \ ---(-2)+++(8)---\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \ \searrow \, \ \ (-2)\ \ \nearrow \ \ \ (8)\ \ \searrow \\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad min\ \ \ \qquad max$

$x_{min}=-2\ \ ,\ \ y_{min}=y(-2)=\dfrac{-2-3}{4+16}=-\dfrac{5}{20}=-\dfrac{1}{4}\ \ ,\ \ -2\in [-5\ ;\ 5\ ]\\\\\\x_{max}=8\ \ ,\ \ \ y_{max}=y(8)=\dfrac{8-3}{64+16}=\dfrac{5}{80}=\dfrac{1}{16}\ ,\ \ 8\notin [-5\ ;\ 5\ ]\\\\y(-5)=\dfrac{-8}{41}\ \ ,\ \ y(5)=\dfrac{2}{41}\\\\\\-\dfrac{8}{41}$

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [-5; 5], вам необходимо знать саму функцию. Если у вас есть конкретная функция, уточните ее, и я постараюсь помочь вам найти максимальное и минимальное значения на указанном интервале.

Пример:

Пусть у нас есть функция $f(x) = x^2 + 3x - 4$. Чтобы найти максимальное и минимальное значения на отрезке [-5; 5], выполним следующие шаги:

1. Найдем критические точки, где производная равна нулю: $f'(x) = 2x + 3$.

   $2x + 3 = 0$ $2x = -3$ $x = -\frac{3}{2}$

2. Проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   • Подставим $x = -5, -\frac{3}{2}, 5$ в функцию $f(x)$.
   • Сравним полученные значения и найдем максимальное и минимальное.

Таким образом, с учетом конкретной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке.