Question

3. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 20√3 , а один из углов трапеци равен 60°​

Answer 1

Ответ:

Дано: АВСД - трапеция, АВ=СД, АД=20√3, ∠А=∠Д=60°, АС⊥СД. Найти S(АВСД).

Решение: Проведем высоту СН, тогда S(АВСД)=(ВС+АД):2*СН.

Рассмотрим ΔАСД - прямоугольный, ∠Д=60°, тогда ∠САД=90-60=30°, а СД=1\2 АД=20√3:2=10√3.

Диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне и делит угол А пополам, значит большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон;  и высота трапеции равна половине её диагонали.

СД=ВС=20√3:2=10√3;

АС²=(20√3)²-(10√3)²=1200-300=900;  АС=√900=30.

СН=1\2 АС=30:2=15.

S(АВСД)=(20√3+10√3):2*15=225√3 (ед²).

Ответ: 225√3 ед²

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать свойства равнобедренной трапеции. Диагональ, перпендикулярная боковой стороне, делит трапецию на два равных прямоугольных треугольника.

Сначала найдем высоту трапеции, которая равна одной из боковых сторон прямоугольного треугольника.

Давайте обозначим боковую сторону треугольника (высоту трапеции) через "h", большее основание через "b", и меньшее основание через "a". Мы знаем, что угол между большим основанием и диагональю равен 60°.

Из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что угол между диагональю и меньшим основанием равен 60°, поскольку оба угла при основаниях равнобедренного треугольника равны.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника. В данном случае, используем тригонометрическую функцию тангенса (тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне):

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{a}.$

У нас также есть следующее соотношение между большим и меньшим основаниями трапеции:

$b = a + 2h.$

Теперь давайте решим систему уравнений:

1. $\tan(60^\circ) = \frac{h}{a}$
2. $b = a + 2h$

Сначала решим уравнение (1) относительно "h":

$\frac{h}{a} = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}.$

Отсюда получаем, что $h = a\sqrt{3}$.

Теперь подставим это значение "h" в уравнение (2):

$b = a + 2h = a + 2(a\sqrt{3}) = a(1 + 2\sqrt{3}).$

У нас есть информация о большем основании "b", которое равно $20\sqrt{3}$, так что:

$20\sqrt{3} = a(1 + 2\sqrt{3}).$

Теперь разрешим уравнение относительно "a":

$a(1 + 2\sqrt{3}) = 20\sqrt{3}$

$a = \frac{20\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}$

Чтобы упростить это выражение, домножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

$a = \frac{20\sqrt{3}(1 - 2\sqrt{3})}{(1 + 2\sqrt{3})(1 - 2\sqrt{3})}$

$a = \frac{20\sqrt{3}(1 - 2\sqrt{3})}{1 - 12}$

$a = \frac{20\sqrt{3}(1 - 2\sqrt{3})}{-11}$

Теперь, мы можем выразить "b" и "h" в терминах "a":

$b = a(1 + 2\sqrt{3}) = \frac{20\sqrt{3}(1 - 2\sqrt{3})}{-11} \cdot (1 + 2\sqrt{3})$

$h = a\sqrt{3} = \frac{20\sqrt{3}(1 - 2\sqrt{3})}{-11} \cdot \sqrt{3}$