Question

3.Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катерак, если скорость течения реки 3 км/ч? (5б)

Answer 1

Ответ:

(23+6√19)/3

Объяснение:

x - скорость катера, км/ч.

40/(x+3) +6/(x-3)=3

40x-120+6x+18=3(x²-9)

46x-102=3x²-27

3x²-46x+75=0; D=2116-900=1216

x₁=(46-12√19)/6=(23-6√19)/3 - этот ответ не подходит, т.к. 23∨6√19; 23<(≈26)⇒ответ получается отрицательный, что не подходит по смыслу.

x₂=(46+12√19)/6=(23+6√19)/3 - собственная скорость катера, км/ч.

Answer 2

Давайте обозначим скорость катера как V_k (в км/ч) и скорость течения реки как V_t (в км/ч).

По условию задачи, катер прошел 40 км по течению реки, и его скорость относительно воды увеличилась на скорость течения реки, то есть он двигался со скоростью V_k + V_t. Катер также прошел 6 км против течения реки, и его скорость относительно воды уменьшилась на скорость течения реки, то есть он двигался со скоростью V_k - V_t.

Мы знаем, что время, затраченное на весь путь, равно 3 часа. Мы можем использовать уравнения расстояния, времени и скорости:

1. Для движения по течению: 40 = (V_k + V_t) * t1, где t1 - время в часах.
2. Для движения против течения: 6 = (V_k - V_t) * t2, где t2 - время в часах.
3. Всего время: t1 + t2 = 3 часа.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Давайте выразим t1 и t2 из первых двух уравнений:

t1 = 40 / (V_k + V_t) t2 = 6 / (V_k - V_t)

Теперь подставим их в третье уравнение:

40 / (V_k + V_t) + 6 / (V_k - V_t) = 3

Теперь мы можем решить это уравнение относительно V_k (скорость катера):

40 / (V_k + V_t) + 6 / (V_k - V_t) = 3

Умножим обе стороны на (V_k + V_t)(V_k - V_t) (обобщенное произведение):

40(V_k - V_t) + 6(V_k + V_t) = 3(V_k + V_t)(V_k - V_t)

Раскроем скобки:

40V_k - 40V_t + 6V_k + 6V_t = 3(V_k^2 - V_t^2)

Упростим:

46V_k - 34V_t = 3V_k^2 - 3V_t^2

Теперь перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные члены:

3V_k^2 - 46V_k + 3V_t^2 - 34V_t = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно V_k. Мы можем решить его с использованием квадратного уравнения:

3V_k^2 - 46V_k + 3V_t^2 - 34V_t = 0

Сначала найдем дискриминант (D) уравнения:

D = b^2 - 4ac

Где a = 3, b = -46 и c = 3V_t^2 - 34V_t. Подставим значения:

D = (-46)^2 - 4 * 3 * (3V_t^2 - 34V_t)

D = 2116 - 36(3V_t^2 - 34V_t)

D = 2116 - 108V_t^2 + 1224V_t

Теперь используем квадратное уравнение для нахождения V_k:

V_k = (-b ± √D) / (2a)

V_k = (46 ± √(2116 - 108V_t^2 + 1224V_t)) / 6

Теперь у нас есть два возможных значения для V_k. Выберем то значение, которое имеет физический смысл. Скорость не может быть отрицательной, поэтому выберем положительный корень:

V_k = (46 + √(2116 - 108V_t^2 + 1224V_t)) / 6

Теперь мы можем подставить значение скорости течения реки V_t = 3 км/ч и решить уравнение:

V_k = (46 + √(2116 - 108(3)^2 + 1224(3))) / 6

V_k = (46 + √(2116 - 972 + 3672)) / 6

V_k = (46 + √(3116)) / 6

V_k = (46 + 56) / 6

V_k = 102 / 6

V_k = 17 км/ч

Итак, собственная скорость катера равна 17 км/ч.