Question

Доказать что (2n+5)²-4n² делиться на 5

Answer 1

Раскроем скобки: 4n²+20n+25-4n²=20n+25=5(4n+5)

Т.к. один из множителей число 5, то данное выражение делится на 5.

Answer 2

Ответ:

(2n + 5)**2 - 4n**2 =

= 4n**2 + 25 + 20n - 4n**2 =

=25 + 20n =

= 5(5 + 4n)

что и требовалось доказать

Объяснение:

**2 - это возведение в квадрат

Answer 3

Для доказательства, что выражение (2n + 5)² - 4n² делится на 5, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Этот метод позволяет нам доказать утверждение для всех натуральных значений n.

Шаг 1: База индукции Для начала докажем утверждение для n = 1:

(2(1) + 5)² - 4(1)² = (2 + 5)² - 4 = 7² - 4 = 49 - 4 = 45.

45 делится на 5, так как 45 = 5 * 9. Базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k:

(2k + 5)² - 4k² делится на 5.

Шаг 3: Доказательство для k+1 Теперь докажем, что утверждение верно для k + 1. Рассмотрим выражение:

(2(k + 1) + 5)² - 4(k + 1)².

Раскроем скобки:

(2k + 2 + 5)² - 4(k² + 2k + 1).

Упростим это выражение:

(2k + 7)² - 4k² - 8k - 4.

Теперь выделим общие множители в первом и втором членах:

(2k + 7)² - (4k² + 8k + 4).

Теперь мы видим, что первый член - это квадрат суммы (2k + 7)², а второй член - это разность (4k² + 8k + 4).

(2k + 7)² - (4k² + 8k + 4) = (2k + 7)² - 4(k² + 2k + 1).

Теперь используем предположение индукции:

(2k + 7)² - 4(k² + 2k + 1) делится на 5.

Таким образом, мы доказали, что (2(k + 1) + 5)² - 4(k + 1)² также делится на 5.

С учетом базы индукции и индуктивного шага, мы можем заключить, что данное выражение делится на 5 для всех натуральных значений n.