Question

4. Высоту над землей подброшенного вверх мяча вычиляют по формуле h(t) = -3t^2+10t h - высота в метрах, t - время в секундах. a) На какой высоте будет мяч через три секунды? б) Через сколько секунд мяч будет находиться на высоте 3 м? в) Постройте график

Answer 1

A)
-3(3^2) + 3•10 = -3•9 + 30 = 3
Мяч будет на высоте трёх метров.

b)
-3(t^2) + 10t = 3
-3(t^2) + 10t - 3 = 0
3(t^2) - 10t + 3 = 0 (умножили на -1)
t^2 - (10t)/3 + 1 = 0 (поделили на три)

t^2 - (10/3)t + 1 = 0
Решаем мы таким странным образом, деля на три, поскольку один из корней нам уже известен – x1=3. И в таком случае нам очень просто решить квадратное уравнение по теореме Виета :
3 + x2 = 10/3
x2 = (10/3) - 3
x2 = 1/3

Значит, x1 = 3 и x2 = 1/3
То есть мяч будет находится на высоте 3 м на 1/3 секунде и на 3 секунде.

c) Для построения графика ищем нужные точки :
1. Находим сначала вершину параболы по формуле x0 = -b/(2a)
x0 = -10/( 2•(-3) ) = -10/-6 = 5/3

Находим теперь y0, подставляя в уравнение уже найденный x0 :
y0 = -3 • (5/3)^2 + 10•(5/3) = 25/3

Есть первая координата, являющимися вершиной параболы : (5/3 ; 25/3)

2. Считаем теперь корни квадратного уравнения :

-3(t^2) + 10t = 0 (выносим t за скобки)
t(-3t + 10) = 0
t1 = 0 -3t + 10 = 0
-3t = -10
t2 = 10/3

Имеем ещё две координаты :
(0;0)
(10/3;0)

3. Поскольку мы уже узнали координату точки, когда x=0, то мы можем пропустить этот шаг

4. Давайте для более точно построения графика, найдём ещё парку точек:

•Когда x = 0,5
-3•0,5^2 + 10•0,5 = 17/4
Получаем (0,5;17/4)

• Когда x = 1
-3•1^2 + 10•1 = 7
Получаем (1;7)

Теперь строим график по всем точкам которые мы нашли, то бишь:
(5/3 ; 25/3)
(0;0)
(10/3;0)
(1;7)
(0,5;17/4)
(1/3;3)
(3;3)

Вы имеете много точек, по которым Вы можете построить весьма точный график. Помните, что парабола имеет ось симметрии, которая проходит через ее вершину!

Answer 2

a) Чтобы найти высоту мяча через три секунды (t = 3 секунды), подставьте t = 3 в формулу h(t):

h(3) = -3(3^2) + 10(3) h(3) = -3(9) + 30 h(3) = -27 + 30 h(3) = 3 метра

Таким образом, через три секунды мяч будет находиться на высоте 3 метра.

б) Чтобы найти время, через которое мяч будет находиться на высоте 3 метра, установите h(t) равным 3 и решите уравнение:

-3t^2 + 10t = 3

Переносим все члены на одну сторону и получаем квадратное уравнение:

-3t^2 + 10t - 3 = 0

Теперь можно решить это уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac где a = -3, b = 10 и c = -3.

D = (10)^2 - 4(-3)(-3) D = 100 - 36 D = 64

Теперь используем формулу для нахождения времени:

t = (-b ± √D) / (2a)

t = (-10 ± √64) / (2(-3)) t = (-10 ± 8) / (-6)

Теперь вычисляем два значения времени:

1. t1 = (-10 + 8) / (-6) = -2 / (-6) = 1/3 секунды
2. t2 = (-10 - 8) / (-6) = -18 / (-6) = 3 секунды

Мяч будет находиться на высоте 3 метра через 1/3 секунды и через 3 секунды.

в) Для построения графика этой функции используйте программу или инструмент, поддерживающий построение графиков, например, Excel, Google Sheets или онлайн-графопостроитель. Вы можете построить график, на котором по оси X будет время (t) и по оси Y высота (h). Установите диапазон значений времени, например, от 0 до 5 секунд, и найдите значения высоты для каждого момента времени. Затем постройте график, соединяя точки, и он будет представлять изменение высоты мяча с течением времени.