Question

1. Знайти первісну для функції f(x)=4: •F(x)=4+C•F(x)=4x+C•F(x)=-4+C•F(x)=-4x+C2. Знайти площу фігури, яка обмежена лініями у=sin x, у= 0, x=n, x = n/2 (n це число пі):•2•6•1•10​

Answer 1

Ответ:

1. 2)

2. 3)

Объяснение:

1. $\int {4}\, \text{d}x = 4 \int\, \text{d}x$, интеграл $\int \, \text{d}x$ табличный и равняется $x + C$, тогда исходный равняется $4x + 4C$, произведение констант — тоже константа, поэтому решением будет $4x+C$, что соответствует второму варианту ответа.

2. Область $D$, ограниченная указанными кривыми $y=\sin x$, $y=0$, $x= \pi$ и $x=\frac{\pi}{2}$, показана на приложенном рисунке. Получается, что $D$ задают два неравенства, $0 \leq y \leq \sin x$ и $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$. Первое неравенство задаёт подынтегральную функцию, притом напрямую (так как левая часть неравенства равна нулю), а второе — пределы интегрирования.

$\int\limits^\pi_\frac{\pi}{2} \sin{x} \, \text{d}x = (-\cos x)|^\pi_\frac{\pi}{2} = -\cos \pi - \left(-\cos \frac{\pi}{2}\right) = -(-1) - 0 = 1.$

(Так получается, ибо $\int \sin{x} \, \text{d}x$ — табличный интеграл, равный $-\cos x$, а затем для определённого интегрирования применяется формула Ньютона-Лейбница, то есть $\int \limits_a^b {f(x)} \, \text{d}x = F(b) - F(a)$, при известном $\int {f(x)} \, \text{d}x$, то есть $F(x)$, притом константа в таком случае игнорируется.)

Полученный результат соответствует третьему варианту ответа.

Answer 2

1. Щоб знайти первісну для функції f(x) = 4, вам потрібно інтегрувати цю функцію. Однак f(x) = 4 є стала функцією, і інтеграл від константи завжди дорівнює добутку цієї константи на x, тобто:

F(x) = 4x + C, де C - довільна константа.

2. Щоб знайти площу фігури, яка обмежена лініями у = sin(x), у = 0, x = n та x = n/2, спершу знайдіть область, що обмежується цими лініями. Графік sin(x) у вигляді хвилі коливається від 0 до 1 між 0 та пі/2 (якщо n = пі), тобто фігура є півколом з радіусом 1. Таким чином, площа цієї фігури дорівнює половині площі кола радіусом 1:

Площа = (1/2) * π * (1^2) = π/2.

Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = sin(x), у = 0, x = n та x = n/2, дорівнює π/2.