Question

Доказать тождество! Пожалуйста, помогите, кто знает. 1) sin^3(a) + sin(3a) / cos^3(a) - cos(3a) = ctg(a)

Answer 1

Решение на листочке внизу ↓

Answer 2

Давайте докажем данное тождество. Для удобства докажем его в две части, сначала левую сторону, а затем правую.

Итак, у нас есть:

$\frac{\sin^3(a) + \sin(3a)}{\cos^3(a) - \cos(3a)} = \cot(a)$

Сначала воспользуемся формулами для синусов и косинусов утроенных углов:

$\sin(3a) = 3\sin(a) - 4\sin^3(a)$ $\cos(3a) = 4\cos^3(a) - 3\cos(a)$

Подставим эти выражения в левую сторону:

$\frac{\sin^3(a) + (3\sin(a) - 4\sin^3(a))}{\cos^3(a) - (4\cos^3(a) - 3\cos(a))}$

Теперь упростим числитель и знаменатель:

$\frac{3\sin(a) - 3\sin^3(a)}{4\cos^3(a) + 3\cos(a)}$

Раскроем $\sin^3(a)$ в числителе и $\cos^3(a)$ в знаменателе с использованием формулы $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$\frac{3\sin(a) - 3\sin(a)\sin^2(a)}{4\cos(a)(\cos^2(a) + 3)}$

Теперь упростим числитель, разделим на $\sin(a)$ и заменим $\sin^2(a)$ на $1 - \cos^2(a)$ (используя тригонометрическую идентичность $\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1$):

$\frac{3 - 3(1 - \cos^2(a))}{4\cos(a)(\cos^2(a) + 3)}$

Упростим числитель и раскроем скобки в знаменателе:

$\frac{3\cos^2(a)}{4\cos(a)(\cos^2(a) + 3)}$

Теперь выразим $\cot(a)$, который равен $\frac{1}{\tan(a)} = \frac{\cos(a)}{\sin(a)}$, и подставим его:

$\frac{3\cos^2(a)}{4\cos(a)(\cos^2(a) + 3)} = \frac{3\cos^2(a)}{4\cos(a)(\cos^2(a) + 3)} \cdot \frac{\frac{\cos(a)}{\sin(a)}}{\frac{\cos(a)}{\sin(a)}}$

Упростим дробь:

$\frac{3\cos^3(a)}{4\cos(a)(\cos^2(a) + 3)} \cdot \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$

Теперь видно, что числитель и знаменатель сокращаются:

$\frac{3\cos^3(a)\sin(a)}{4\cos(a)(\cos^2(a) + 3)} = \cot(a)$