Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y=x^4, y=0, x=2

Answer 1

∫²₀ х⁴dx = ∫x⁴dx = x⁵/5 |²₀ = 2⁵/5-0⁵/5 = 32/5 = 6,4(ед.²)

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями $y = x^4$, $y = 0$ та $x = 2$, треба знайти область між цими кривими та взяти від неї відповідну площу.

Спочатку знайдемо точки перетину кривих $y = x^4$ та $y = 0$:

1. Для знаходження точок перетину між $y = x^4$ та $y = 0$ вирішимо $x^4 = 0$, отримаємо $x = 0$.
2. Точка перетину має координати $(0, 0)$.

Тепер знайдемо точки перетину між $y = x^4$ та $x = 2$:

1. Підставимо $x = 2$ у рівняння $y = x^4$, отримаємо $y = 2^4 = 16$.
2. Точка перетину має координати $(2, 16)$.

Отже, ми маємо область між кривими $y = x^4$ та $y = 0$ від $x = 0$ до $x = 2$, а також область між кривими $y = x^4$ та $x = 2$ від $y = 0$ до $y = 16$.

Площа цієї фігури обчислюється як сума площ прямокутників і трикутників.

1. Площа прямокутника між $x = 0$ та $x = 2$, та $y = 0$ та $y = 16$: $A_1 = (2 - 0) \times (16 - 0) = 2 \times 16 = 32$

2. Площа трикутника під графіком $y = x^4$ між $x = 0$ та $x = 2$: $A_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 16 = 16$

Отже, загальна площа фігури буде сумою цих двох площ: $A_{\text{заг}} = A_1 + A_2 = 32 + 16 = 48$