Question

1. Докажите неравенство:а) (х – 2> х(х – 4);​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Представляем вместо x, 1

Итог. 1-2>1(1-4)

-1>-4

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

x-2>x(x-4)

x-2>x²-4x

x²-4x-x+2<0

x²-5x+2<0

Допустим:

x²-5x+2=0; D=25-8=17

x₁=(5-√17)/2

x₂=(5+√17)/2

Для определения знака функции возьмём пробную точку на промежутке (-∞; (5-√17)/2), например, 0.

0-2∨0(0-4)

-2<0

Отсюда следует:

(5-√17)/2<x<(5+√17)/2

Ответ: x∈((5-√17)/2; (5+√17)/2).

Answer 3

Давайте докажем данное неравенство:

а) $x - 2 > x(x - 4)$

Сначала распространим умножение на правой стороне неравенства:

$x - 2 > x^2 - 4x$

Теперь приведем все члены неравенства на одну сторону:

$x - x^2 + 4x - 2 > 0$

Упростим:

$3x - x^2 - 2 > 0$

Теперь факторизуем квадратный член:

$-x^2 + 3x - 2 > 0$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + 3x - 2 = 0$:

$(-x + 2)(x - 1) = 0$

Корни уравнения:

$x = 2$ и $x = 1$

Теперь мы видим, что неравенство меняет знак при $x = 2$ и $x = 1$. Чтобы определить знаки интервалов, давайте построим знаки функции $-x^2 + 3x - 2$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & & 1 & & 2 & & +\infty \\ \hline -x^2 + 3x - 2 & + & \nearrow & + & \searrow & - & \nearrow & - \\ \hline \end{array}$$

Теперь мы видим, что неравенство $3x - x^2 - 2 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$. Таким образом, решением исходного неравенства $x - 2 > x(x - 4)$ является множество значений $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.