Question

Z= 2xy- 4x-2y нужно найти экстремум функции (минимум и максимум)

Answer 1

$Z=2xy-4x-2y$

$\frac{dz(x,y)}{dy}=2x-2$

$y=2$

$x=1$

$\frac{d2(z)}{dx^{2}}=0$

$\frac{d2(z)}{dy^{2}} =0$

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции Z = 2xy - 4x - 2y, нужно взять частные производные по переменным x и y, приравнять их к нулю и решить систему уравнений.

1. Найдем частную производную по x: ∂Z/∂x = 2y - 4.

2. Найдем частную производную по y: ∂Z/∂y = 2x - 2.

Теперь приравняем обе частные производные к нулю и решим систему уравнений:

1. 2y - 4 = 0 2y = 4 y = 2

2. 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1

Теперь у нас есть две точки (x, y), в которых частные производные равны нулю: (1, 2).

Для определения типа экстремума (минимума или максимума) мы можем воспользоваться вторыми производными и методом Гессе. Найдем вторые частные производные:

3. ∂²Z/∂x² = 0 (константа).
4. ∂²Z/∂y² = 0 (константа).
5. ∂²Z/∂x∂y = 2 (постоянное значение).

Теперь составим матрицу Гессе:

H = | ∂²Z/∂x² ∂²Z/∂x∂y | | ∂²Z/∂y∂x ∂²Z/∂y² |

H = | 0 2 | | 2 0 |

Матрица Гессе имеет положительный определитель (0 - 2 * 2 = -4), и следовательно, точка (1, 2) - это точка минимума.

Таким образом, функция Z = 2xy - 4x - 2y имеет минимум в точке (1, 2).