Question

Помогите пожалуйста с геометрической прогрессией!!! 1.Найдите знаменатель геометрической прогрессии: а)3, 9, 27, .... б)1/√2, 1/4, 1/8√2, ... 2.Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bₓ), у которой b₁=14, q=1/2 3. Найдите сумму x+1+1/x+...+1/x⁶

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ a)\ \ \{b_{n}\}:\ \ 3\ ;\ 9\ ;\ 27\ ;\ ...\\\\q=\dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}\ \ \to \ \ \ q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{9}{3}=3\\\\Proverka:\ \ b_3=b_2q=9\cdot 3=27\\\\b)\ \ \{b_{n}\}:\ \ \dfrac{1}{\sqrt2}\ ;\ \dfrac{1}{4}\; ;\ \dfrac{1}{8\sqrt2}\ ;\ ...\\\\q=\dfrac{1/4}{1/\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{1}{2\sqrt2}\\\\q=\dfrac{1/8\sqrt2}{1/4}=\dfrac{4}{8\sqrt2}=\dfrac{1}{2\sqrt2}\\\\Proverka:\ \ b_3=b_2q=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{1}{8\sqrt2}$

$2)\ \ b_1=14\ \ ,\ \ q=\dfrac{1}{2}\\\\S_5=\dfrac{b_1\, (q^5-1)}{q-1}=\dfrac{14\, (\frac{1}{32}-1)}{\frac{1}{2}-1}=\dfrac{-14\cdot \frac{31}{32}}{-\frac{1}{2}}=\dfrac{14\cdot 31\cdot 2}{32}=\dfrac{7\cdot 31}{8}=\\\\=\dfrac{217}{8}=27,125$

$3)\ \ x+1+\dfrac{1}{x}+...+\dfrac{1}{x^6}=x+1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{x^5}+\dfrac{1}{x^6}\\\\q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{1}{x}\\\\S_8=\dfrac{x\cdot (\dfrac{1}{x^8}-1)}{\dfrac{1}{x}-1}=\dfrac{x\cdot (1-x^8)\cdot x}{x^8\cdot (1-x)}=\dfrac{(1-x^8)}{x^6(1-x)}=\dfrac{(1-x^4)(1+x^4)}{x^6(1-x)}=\\\\\\=\dfrac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)}{x^6(1-x)}=\dfrac{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)}{x^6}$

Answer 2

Конечно, давайте решим каждую задачу поочередно.

1. Нахождение знаменателя геометрической прогрессии:

а) Для первой последовательности (3, 9, 27, ...) заметим, что каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на 3. Таким образом, знаменатель $q = 3$.

б) Для второй последовательности (1/√2, 1/4, 1/8√2, ...) каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на 1/2. Знаменатель $q = 1/2$.

2. Нахождение суммы первых пяти членов геометрической прогрессии:

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{{b_1 \cdot (q^n - 1)}}{{q - 1}}$

где $b_1$ - первый член прогрессии, $q$ - знаменатель прогрессии, $n$ - количество членов прогрессии.

В данном случае, $b_1 = 14$, $q = 1/2$, и $n = 5$.

$S_5 = \frac{{14 \cdot (1/2^5 - 1)}}{{1/2 - 1}}$ $S_5 = \frac{{14 \cdot (1/32 - 1)}}{{-1/2}}$ $S_5 = \frac{{14 \cdot (1/32 - 32/32)}}{{-1/2}}$ $S_5 = \frac{{14 \cdot (-31/32)}}{{-1/2}}$ $S_5 = \frac{{-434}}{{-1/2}}$ $S_5 = 868$

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 868.

3. Нахождение суммы выражения $x + 1 + \frac{1}{x} + \ldots + \frac{1}{x^6}$:

Это представляет собой геометрическую прогрессию, где первый член $b_1 = x$ и знаменатель $q = 1/x$. Сумма первых 6 членов этой прогрессии:

$S_6 = \frac{{x \cdot (1/x^6 - 1)}}{{1/x - 1}}$ $S_6 = \frac{{1 - x^5}}{{1/x - 1}}$ $S_6 = \frac{{1 - x^5}}{{(1 - x)/x}}$ $S_6 = \frac{{x(1 - x^5)}}{{1 - x}}$